Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €25 000 tra 5 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €25 0006% / 4n = 5

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 8 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.

A = €2503,6% / 12N = 96

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 8% e scade tra 11 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3,5% al 2,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?

F = €1 000cedola = 8%n = 11y₁ = 3,5%y₂ = 2,5%

ΔP = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 9 anni e quota €895. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 4%n = 9P = €895

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €45,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.

β = 0,9r_f = 3%r_m = 8%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €6 000, €9 000, €7 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 9 000CF₃ = 7 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €40 000 e restituisce €19 000, €22 000, €22 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −40 000CF₁ = 19 000CF₂ = 22 000CF₃ = 22 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 18562 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·5 = 20

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,347 = €18 561,76

Risposta

PV = €18 561,76

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 27765 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·8 = 96

Valore futuro dei versamenti

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1,333 − 1)/0,003 = €27 765,20

Risposta

FV = €27 765,20

Tu hai versato €24 000; il resto sono interessi.

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: ΔP = 118,2 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo al vecchio rendimento

C = €80,00, i = 0,035, N = 11

€80,00·(1 − 0,6849)/0,035 + €1 000·0,6849 = €720,12 + €684,95 = €1 405,07

Prezzo al nuovo rendimento

C = €80,00, i = 0,025, N = 11

€80,00·(1 − 0,7621)/0,025 + €1 000·0,7621 = €761,14 + €762,14 = €1 523,28

Variazione

ΔP = 1 523,28 − 1 405,07 = €118,21

Risposta

ΔP = €118,21

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 5,511 %

Equazione del rendimento

€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Risolvi numericamente

P(5%) = €928,92, P(6%) = €863,97

YTM = 5,511%

Risposta

YTM = 5,511%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,4 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·8% + 0,25·7%·(1 − 0,2) = 7,4%

Risposta

WACC = 7,4%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,964 %

Valori di mercato

E = 2 500 000·€45,00 = €112 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 0,9·5% = 7,5%

Pesi

V = €132 500 000, E/V = 0,8491, D/V = 0,1509

WACC

WACC = 0,8491·7,5% + 0,1509·5%·(1 − 0,21) = 6,964%

Risposta

WACC = 6,964%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −1515 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 6 000/1,09 = 5 504,59

CF₂/(1 + 0,09)² = 9 000/1,188 = 7 575,12

CF₃/(1 + 0,09)³ = 7 000/1,295 = 5 405,28

Sommali

NPV = €−1 515,01

Risposta

NPV = €−1 515,01

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 26,31 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(25%) = 800,00

NPV(30%) = −2 125,63

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 25 + 5·800,00/(800,00 − (−2 125,63)) = 26,37%

esatto: NPV(26,31%) = 0 → IRR = 26,31%

Risposta

IRR = 26,31%

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