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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 12 anni. Il conto rende il 5,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1505,4% / 12N = 144
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 6% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 6%n = 9
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 7 anni e quota €1 090. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 7P = €1 090
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €2 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,8. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio è del 1% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 0,8D/E = 1T = 28%rf = 1%rm − rf = 6,5%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €19 000, €28 000, €14 000, €24 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €200 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €36 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 5% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 5. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €36 000g = 5%n = 5r = 12%
NPV = €
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 50000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,03, N = 18
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,5874)/0,03 = €309,45
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,5874 = €587,39
Prezzo
P = €896,85
Risposta
P = €896,85
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,474 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86
YTM = 4,474%
Risposta
YTM = 4,474%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,71 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 0,8·(1 + 0,72·1) = 1,376
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1% + 1,376·6,5% = 9,944%
Risposta
re = 9,944%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 7324 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 19 000/1,1 = 17 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 28 000/1,21 = 23 140,50
CF3/(1 + 0,1)3 = 14 000/1,331 = 10 518,41
CF4/(1 + 0,1)4 = 24 000/1,464 = 16 392,32
Sommali
NPV = €7 323,95
Risposta
NPV = €7 323,95
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: NPV = −58158 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.