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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €1 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.
PV = €1 0003,6% / 12n = 3
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €25 000 tra 14 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €25 0006% / 12N = 168
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 12y0 = 7%y1 = 8,5%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 9 anni e quota €1 080. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 9P = €1 080
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 13%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni quotate €36,00; il valore contabile del suo capitale proprio è €43 200 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,40 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €144 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un progetto costa €500 000 oggi. Genera €42 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €500 000CF1 = €42 000g = 3%r = 10%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 500, €5 000, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 5 000CF3 = 7 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 1114 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 081,62, P(3%) = €1 000,00
YTM = 2,019%
Risposta
YTM = 2,019%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,87 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·3%·(1 − 0,21) = 10,87%
Risposta
WACC = 10,87%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,2 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 2,4·1,02 = €2,45
re = 2,448/36 + 0,02 = 8,8%
Valori di mercato
E = 4 000 000·€36,00 = €144 000 000
V = €288 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,8% + 0,5·5%·(1 − 0,28) = 6,2%
Risposta
WACC = 6,2%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 100000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 42 000/(0,1 − 0,03) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Risposta
NPV = €100 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 32,56 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 375,51
NPV(35%) = −337,35
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.