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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €10 000 al 7% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 4 anni.
PV = €10 000r = 7%t = 4
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €8 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €8 0007,2% / 12N = 36
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 3%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 2,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 11y0 = 3%y1 = 2,5%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 18 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 261. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 5 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 261prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 5 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €12 000 000 e un costo del capitale proprio del 13%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 5%, 8 anni alla scadenza) quotate €1 033 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €12 000, €20 000, €19 000, €12 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €12 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 4. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF1 = €12 500g = 3%n = 4r = 10%
NPV = €
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 13231 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,07·4 = 0,28
e0,28 = 1,323
Valore futuro
FV = 10 000·1,323 = €13 231,30
Risposta
FV = €13 231,30
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 247,7 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·3 = 36
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8063
A = 8 000·0,006/(1 − 0,8063) = €247,75
Risposta
A = €247,75
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 6,842 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1261 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 296,56
y = 5%: €1 243,70
YTC = 4,667%
Risposta
YTC = 4,667%
Il rendimento a scadenza è del 6,498%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,724 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 12 000/1,1 = 10 909,09
CF2/(1 + 0,1)2 = 20 000/1,21 = 16 528,93
CF3/(1 + 0,1)3 = 19 000/1,331 = 14 274,98
CF4/(1 + 0,1)4 = 12 000/1,464 = 8 196,16
Sommali
NPV = €4 909,16
Risposta
NPV = €4 909,16
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: NPV = −8703 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,03)/(1,1))4 = 0,7687
PV = 12 500/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,7687) = 41 296,85
NPV
NPV = 41 296,85 − 50 000 = −€8 703,15
Risposta
NPV = −€8 703,15
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.