Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 7% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €2 000g = 2%r = 7%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un mutuo di €200 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 25 anni al 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 6? Trova il debito residuo B.

P = €200 0003% / 12N = 300k = 72

B = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 15 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €486 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 15P = €486YTM = 8%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 7 anni e quota €1 060. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 5%n = 7P = €1 060

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.

E = €8 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 1. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio è del 3% e il premio per il rischio di mercato è del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e con la nuova struttura del capitale.

β_U = 1,1D/E = 1T = 28%r_f = 3%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €18 000, €24 000, €18 000, €30 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 000CF₂ = 24 000CF₃ = 18 000CF₄ = 30 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €40 000 e restituisce €28 000, €15 000, €21 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 15 000CF₃ = 21 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 40000 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,07 − 0,02) = 2 000/0,05 = €40 000,00

Risposta

PV = €40 000,00

2.Valore temporale del denaro

Risposta: B = 164674 €

Rata mensile

i = 0,0025, N = 300

A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻³⁰⁰) = €948,42

Valore attuale delle rate rimanenti

Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.

N − k = 300 − 72 = 228

B = 948,4·(1 − (1 + 0,0025)⁻²²⁸)/0,0025 = €164 673,54

Risposta

B = €164 673,54

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 1,995 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,08)⁻¹⁵ = €315,24

Cedola

C = (486 − 315,24)/8,559 = €19,95

Tasso cedolare

c = 19,95/1000 = 1,995%

Risposta

c = 1,995%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4 %

Equazione del rendimento

€1 060 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Risolvi numericamente

P(4%) = €1 060,02, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4%

Risposta

YTM = 4%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,967 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €12 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·11% + 0,3333·7%·(1 − 0,3) = 8,967%

Risposta

WACC = 8,967%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 11,51 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Beta levered

β_L = 1,1·(1 + 0,72·1) = 1,892

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,892·4,5% = 11,51%

Risposta

r_e = 11,51%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = 2788 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 18 000/1,15 = 15 652,17

CF₂/(1 + 0,15)² = 24 000/1,322 = 18 147,45

CF₃/(1 + 0,15)³ = 18 000/1,521 = 11 835,29

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 30 000/1,749 = 17 152,60

Sommali

NPV = €2 787,51

Risposta

NPV = €2 787,51

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 30,38 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 200,27

NPV(35%) = −2 290,30

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·200,27/(200,27 − (−2 290,30)) = 30,4%

esatto: NPV(30,38%) = 0 → IRR = 30,38%

Risposta

IRR = 30,38%

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