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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €5 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €5 0002% / 12n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0007,2% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 3%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 11y0 = 9%y1 = 8%
HPR = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 079. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 079prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 6 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €49,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1%rm = 6%rd = 7%T = 25%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €30 000, €28 000, €14 000, €25 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 500, €17 500, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 17 500CF3 = 14 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 6106 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7504
A = 20 000·0,006/(1 − 0,7504) = €480,78
Risposta
A = €480,78
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 17,38 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1079 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 7%: €1 100,97
y = 8%: €1 050,41
YTC = 7,427%
Risposta
YTC = 7,427%
Il rendimento a scadenza è del 7,005%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,532 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·8% + 0,1667·7%·(1 − 0,258) = 7,532%
Risposta
WACC = 7,532%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,052 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 30 000/1,05 = 28 571,43
CF2/(1 + 0,05)2 = 28 000/1,103 = 25 396,83
CF3/(1 + 0,05)3 = 14 000/1,158 = 12 093,73
CF4/(1 + 0,05)4 = 25 000/1,216 = 20 567,56
Sommali
NPV = €26 629,54
Risposta
NPV = €26 629,54
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 43,18 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(40%) = 998,54
NPV(45%) = −541,02
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.