Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €20 000 al 4% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 12 anni.

PV = €20 000r = 4%t = 12

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 19? Trova il debito residuo B.

P = €250 0002,4% / 12N = 360k = 228

B = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 3%YTM = 7%n = 9

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4,5% e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.

F = €1 000cedola = 4,5%n = 6YTM = 5,5%

D = anni

5.CAPM e WACCMedia

Un’azione con un beta di 0,8 ha un rendimento richiesto del 4,6%. Il tasso privo di rischio è del 1%. Quale rendimento atteso del mercato r_m implica il CAPM?

β = 0,8r_e = 4,6%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,5 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio del 2% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,6T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €4 000, €8 000, €4 000, €8 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 8 000CF₃ = 4 000CF₄ = 8 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €8 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 2% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 7. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €8 500g = 2%n = 7r = 8%

NPV = €

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 32321 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,04·12 = 0,48

e^0,48 = 1,616

Valore futuro

FV = 20 000·1,616 = €32 321,49

Risposta

FV = €32 321,49

2.Valore temporale del denaro

Risposta: B = 112997 €

Rata mensile

i = 0,002, N = 360

A = 250 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁶⁰) = €974,85

Valore attuale delle rate rimanenti

Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.

N − k = 360 − 228 = 132

B = 974,9·(1 − (1 + 0,002)⁻¹³²)/0,002 = €112 997,19

Risposta

B = €112 997,19

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 736,2 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €15,00, i = 0,035, N = 18

Valore attuale delle cedole

€15,00·(1 − 0,5384)/0,035 = €197,85

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,5384 = €538,36

Prezzo

P = €736,21

Risposta

P = €736,21

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: D = 5,372 anni

Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valore attuale di ogni flusso

t = 1: 45/1,055 = 42,65, t·PV = 42,65

t = 2: 45/1,113 = 40,43, t·PV = 80,86

t = 3: 45/1,174 = 38,32, t·PV = 114,97

t = 4: 45/1,239 = 36,32, t·PV = 145,30

t = 5: 45/1,307 = 34,43, t·PV = 172,16

t = 6: 1045/1,379 = 757,88, t·PV = 4 547,29

Duration

P = 950,04

D = 5 103,23/950,04 = 5,372

Risposta

D = 5,372 anni

5.CAPM e WACC

Risposta: r_m = 5,5 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Premio per il rischio di mercato

r_m − r_f = (4,6% − 1%)/0,8 = 4,5%

Rendimento di mercato

r_m = 1% + 4,5% = 5,5%

Risposta

r_m = 5,5%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 8,318 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,5/(1 + 0,72·0,5) = 1,103

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 1,103·(1 + 0,72·0,6) = 1,579

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 2% + 1,579·4% = 8,318%

Risposta

r_e = 8,318%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −1283 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 4 000/1,1 = 3 636,36

CF₂/(1 + 0,1)² = 8 000/1,21 = 6 611,57

CF₃/(1 + 0,1)³ = 4 000/1,331 = 3 005,26

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 8 000/1,464 = 5 464,11

Sommali

NPV = €−1 282,70

Risposta

NPV = €−1 282,70

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: NPV = −3285 €

Valore attuale della rendita crescente

((1,02)/(1,08))⁷ = 0,6702

PV = 8 500/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,6702) = 46 715,00

NPV

NPV = 46 715,00 − 50 000 = −€3 285,00

Risposta

NPV = −€3 285,00

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

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