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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €6 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 1,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 5,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €6 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €10 000 al 6% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €175 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €10 000A = €1756% / 12
N = rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 5 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €920 quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 5P = €920YTM = 8%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 147. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%P = €1 147prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 6 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,9 ha un rendimento richiesto del 8%. Il tasso privo di rischio è del 3,5%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,9re = 8%rf = 3,5%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €46,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 1,5%rm = 6%rd = 6%T = 28%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi. Genera €14 500 alla fine di ogni anno per 5 anni e poi può essere venduta a €9 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €60 000CF = €14 500S = €9 000n = 5r = 12%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €20 000 rende €5 500 alla fine di ogni anno per 4 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €20 000CF = €5 500n = 4
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 150000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,005
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,005/175 = 0,7143
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,7143)/ln(1,005) = 67,46
Arrotonda a rate intere
67 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 68
Risposta
N = 68 rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 5,996 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,08)−5 = €680,58
Cedola
C = (920 − 680,58)/3,993 = €59,96
Tasso cedolare
c = 59,96/1000 = 5,996%
Risposta
c = 5,996%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 6,14 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1147 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 6%: €1 154,74
y = 7%: €1 100,97
YTC = 6,14%
Risposta
YTC = 6,14%
Il rendimento a scadenza è del 6,003%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8,5 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (8% − 3,5%)/0,9 = 5%
Rendimento di mercato
rm = 3,5% + 5% = 8,5%
Risposta
rm = 8,5%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,205 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
14 500·3,605 = 52 269,25
Valore attuale del valore residuo
9 000/1,762 = 5 106,84
NPV
NPV = −60 000 + 52 269,25 + 5 106,84 = −€2 623,90
Risposta
NPV = −€2 623,90
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 3,924 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−4)/i = 20 000/5 500 = 3,636
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.