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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €3 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.
PV = €3 0003% / 4n = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €10 000 tra 11 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €10 0003% / 12N = 132
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 8% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 8%n = 4
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 3 anni e quota €935. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3P = €935
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €17,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,1, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,1rf = 4%rm = 8,5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €21 000, €14 000, €11 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €10 000 e rende €5 500, €4 000, €2 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €15 000 e rende €4 000, €6 500, €8 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,04, N = 8
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €168,32
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7307 = €730,69
Prezzo
P = €899,01
Risposta
P = €899,01
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,405 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81
YTM = 5,405%
Risposta
YTM = 5,405%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,618 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 21 000/1,12 = 18 750,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 14 000/1,254 = 11 160,71
CF3/(1 + 0,12)3 = 11 000/1,405 = 7 829,58
Sommali
NPV = €−7 259,70
Risposta
NPV = €−7 259,70
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 8,826 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 500 − 4 000 = 2 500
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
TIR della differenza
NPVΔ(8%) = 120,54
NPVΔ(9%) = −24,94
r* = 8,826%
Risposta
r* = 8,826%
Verifica: al 8,826% entrambi i VAN valgono €371,17.