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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €20 000 al 2% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 13 anni.

PV = €20 000r = 2%t = 13

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Versi €2 500 all’inizio di ogni anno per 29 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 4% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 29? Trova FV.

A = €2 500i = 4%n = 29

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 7%YTM = 9%n = 8

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione è quotata €985 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 7,5 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento aumenta di 75 punti base.

P₀ = €985y = 6%D = 7,5Δy = +75 bp

P = €

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €12 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €10 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 4 anni alla scadenza) quotate €983 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.

E = €10 000 000r_e = 14%obbligazioni: 2 000 × €983cedola = 7%n = 4T = 25%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €40 000 oggi e rende €18 000, €9 500, €14 500, €15 000, €13 500, €12 000 alla fine degli anni da 1 a 6. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 9 500CF₃ = 14 500CF₄ = 15 000CF₅ = 13 500CF₆ = 12 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €9 500, €14 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 500CF₂ = 14 000CF₃ = 14 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 25939 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,02·13 = 0,26

e^0,26 = 1,297

Valore futuro

FV = 20 000·1,297 = €25 938,60

Risposta

FV = €25 938,60

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 137712 €

Fattore della rendita posticipata

((1 + 0,04)²⁹ − 1)/0,04 = 52,97

Rendita anticipata

Ogni versamento resta investito un anno in più.

FV = 2 500·52,97·1,04 = €137 712,34

Risposta

FV = €137 712,34

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 887,7 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €35,00, i = 0,045, N = 16

Valore attuale delle cedole

€35,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €393,19

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,4945 = €494,47

Prezzo

P = €887,66

Risposta

P = €887,66

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 932,7 €

Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificata

D_mod = 7,5/1,06 = 7,075

Variazione stimata del prezzo

%ΔP ≈ −7,075·(0,0075) = −5,307%

P ≈ 985·(1 − 0,05307) = €932,73

Risposta

P = €932,73

La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,79 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·11% + 0,25·3%·(1 − 0,28) = 8,79%

Risposta

WACC = 8,79%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 12,62 %

Costo del debito (YTM)

983 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 7,508%

Valori di mercato

D = 2 000·€983 = €1 966 000

V = €11 966 000, E/V = 0,8357, D/V = 0,1643

WACC

WACC = 0,8357·14% + 0,1643·7,508%·(1 − 0,25) = 12,62%

Risposta

WACC = 12,62%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,201 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 18 000/1,06 = 16 981,13 → Σ = 16 981,13

anno 2: 9 500/1,124 = 8 454,97 → Σ = 25 436,10

anno 3: 14 500/1,191 = 12 174,48 → Σ = 37 610,58

anno 4: 15 000/1,262 = 11 881,40 → Σ = 49 491,98

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 2 389,42/11 881,40 = 3,201

Risposta

DPB = 3,201 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,862 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 22,43 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(20%) = 1 030,09

NPV(25%) = −1 016,00

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 20 + 5·1 030,09/(1 030,09 − (−1 016,00)) = 22,52%

esatto: NPV(22,43%) = 0 → IRR = 22,43%

Risposta

IRR = 22,43%

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