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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 2,5% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 4,5% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.

C₁ = €12 000g = 2,5%r = 4,5%

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 4,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €30 0004,2% / 12N = 60

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 5%YTM = 7%n = 6

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 3 anni e quota €950. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 5%n = 3P = €950

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €2 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 6% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.

E = €8 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_p = 6%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 0,8. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio è del 1% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e con la nuova struttura del capitale.

β_U = 0,8D/E = 0,75T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €20 000 oggi e rende €7 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 12%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000CF₅ = 7 000CF₆ = 7 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Il progetto A costa €20 000 e rende €11 500, €8 000, €5 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €30 000 e rende €8 500, €12 500, €17 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.

A: −20 000, 11 500, 8 000, 5 000B: −30 000, 8 500, 12 500, 17 000

r* = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 600000 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Rendita perpetua crescente

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,045 − 0,025) = 12 000/0,02 = €600 000,00

Risposta

PV = €600 000,00

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 3312 €

Rata mensile

i = 0,0035, N = 60

A = 30 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻⁶⁰) = €555,21

Interessi totali

I = N·A − P = 60·555,2 − 30 000 = €3 312,45

Risposta

I = €3 312,45

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 903,4 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €25,00, i = 0,035, N = 12

Valore attuale delle cedole

€25,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €241,58

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,6618 = €661,78

Prezzo

P = €903,37

Risposta

P = €903,37

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 6,902 %

Equazione del rendimento

€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Risolvi numericamente

P(6%) = €973,27, P(7%) = €947,51

YTM = 6,902%

Risposta

YTM = 6,902%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,24 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = 8 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €13 000 000

E/V = 0,6154, P_s/V = 0,1538, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,6154·9% + 0,1538·6% + 0,2308·4,5%·(1 − 0,25) = 7,24%

Risposta

WACC = 7,24%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 9,125 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Beta levered

β_L = 0,8·(1 + 0,75·0,75) = 1,25

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,25·6,5% = 9,125%

Risposta

r_e = 9,125%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,716 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 7 000/1,12 = 6 250,00 → Σ = 6 250,00

anno 2: 7 000/1,254 = 5 580,36 → Σ = 11 830,36

anno 3: 7 000/1,405 = 4 982,46 → Σ = 16 812,82

anno 4: 7 000/1,574 = 4 448,63 → Σ = 21 261,45

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 3 187,18/4 448,63 = 3,716

Risposta

DPB = 3,716 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,857 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: r* = 10,03 %

Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.

Differenza dei flussi di cassa

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 8 500 − 11 500 = −3 000

ΔCF₂ = 12 500 − 8 000 = 4 500

ΔCF₃ = 17 000 − 5 000 = 12 000

TIR della differenza

NPV_Δ(10%) = 7,51

NPV_Δ(11%) = −276,11

r* = 10,03%

Risposta

r* = 10,03%

Verifica: al 10,03% entrambi i VAN valgono €814,42.

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