Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €15 000 tra 10 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €15 0004% / 12n = 10

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Vuoi avere €25 000 tra 4 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.

FV = €25 0005,4% / 12N = 48

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 3 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €972 quando il rendimento a scadenza è del 3%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 3P = €972YTM = 3%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Viene venduta a €732. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 12P = €732

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 000 000 azioni da €57,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6,5%. Trova il WACC.

β = 1,3r_f = 1,5%r_m = 6,5%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €11 000, €10 000, €15 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 11 000CF₃ = 10 000CF₄ = 15 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €50 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €10 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 4% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 5. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €10 000g = 4%n = 5r = 8%

NPV = €

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 10061 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·10 = 120

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,491 = €10 061,49

Risposta

PV = €10 061,49

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 467,8 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·4 = 48

Versamento

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0045/(1,241 − 1) = €467,77

Risposta

A = €467,77

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 2,01 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,03)⁻³ = €915,14

Cedola

C = (972 − 915,14)/2,829 = €20,10

Tasso cedolare

c = 20,1/1000 = 2,01%

Risposta

c = 2,01%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,996 %

Per periodo

C = €10,00, N = 24

Risolvi numericamente

i = 2,498% per semestre

YTM

YTM = 2·2,498% = 4,996%

Risposta

YTM = 4,996%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,223 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·8% + 0,1667·4,5%·(1 − 0,258) = 7,223%

Risposta

WACC = 7,223%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,194 %

Valori di mercato

E = 2 000 000·€57,00 = €114 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,3·5% = 8%

Pesi

V = €152 400 000, E/V = 0,748, D/V = 0,252

WACC

WACC = 0,748·8% + 0,252·6%·(1 − 0,2) = 7,194%

Risposta

WACC = 7,194%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = 7920 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 14 000/1,12 = 12 500,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 11 000/1,254 = 8 769,13

CF₃/(1 + 0,12)³ = 10 000/1,405 = 7 117,80

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 15 000/1,574 = 9 532,77

Sommali

NPV = €7 919,71

Risposta

NPV = €7 919,71

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: NPV = −7008 €

Valore attuale della rendita crescente

((1,04)/(1,08))⁵ = 0,828

PV = 10 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,828) = 42 991,62

NPV

NPV = 42 991,62 − 50 000 = −€7 008,38

Risposta

NPV = −€7 008,38

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

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