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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €20 000 tra 10 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €20 0006% / 12n = 10
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 000 all’inizio di ogni anno per 8 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 6% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 8? Trova FV.
A = €2 000i = 6%n = 8
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 3%n = 8
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Viene venduta a €962. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 3% (2×)n = 9P = €962
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €12 000 000 e un costo del capitale proprio del 11%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 10 anni alla scadenza) quotate €1 074 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un progetto costa €400 000 oggi. Genera €36 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €400 000CF1 = €36 000g = 2%r = 9%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €16 500, €21 000, €19 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 16 500CF2 = 21 000CF3 = 19 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 10993 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·10 = 120
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,819 = €10 992,65
Risposta
PV = €10 992,65
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 20983 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,06)8 − 1)/0,06 = 9,897
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 000·9,897·1,06 = €20 982,63
Risposta
FV = €20 982,63
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1071 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,015, N = 16
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,788)/0,015 = €282,63
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,788 = €788,03
Prezzo
P = €1 070,66
Risposta
P = €1 070,66
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,496 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, N = 18
Risolvi numericamente
i = 1,748% per semestre
YTM
YTM = 2·1,748% = 3,496%
Risposta
YTM = 3,496%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,306 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·4,5%·(1 − 0,3) = 9,306%
Risposta
WACC = 9,306%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,989 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 36 000/(0,09 − 0,02) = 514 285,71
NPV
NPV = 514 285,71 − 400 000 = €114 285,71
Risposta
NPV = €114 285,71
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 19,41 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 3 048,41
NPV(20%) = −381,94
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.