Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €5 000 tra 10 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €5 0004% / 12n = 10

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni al 6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?

P = €25 0006% / 12N = 48

I = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €805 quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 9P = €805YTM = 7%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 079. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 7%P = €1 079prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 3 anni

YTC = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,5 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio del 4% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €40 000 oggi e rende €12 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 6%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 12 000CF₄ = 12 000CF₅ = 12 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un investimento di €80 000 rende €22 500 alla fine di ogni anno per 7 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

C₀ = €80 000CF = €22 500n = 7

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 3354 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·10 = 120

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,491 = €3 353,83

Risposta

PV = €3 353,83

2.Valore temporale del denaro

Risposta: I = 3182 €

Rata mensile

i = 0,005, N = 48

A = 25 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻⁴⁸) = €587,13

Interessi totali

I = N·A − P = 48·587,1 − 25 000 = €3 182,03

Risposta

I = €3 182,03

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 4,007 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,07)⁻⁹ = €543,93

Cedola

C = (805 − 543,93)/6,515 = €40,07

Tasso cedolare

c = 40,07/1000 = 4,007%

Risposta

c = 4,007%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 6,226 %

Equazione del rendimento

1079 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

Risolvi numericamente

y = 6%: €1 085,50

y = 7%: €1 057,14

YTC = 6,226%

Risposta

YTC = 6,226%

Il rendimento a scadenza è del 5,998%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,978 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·11% + 0,4444·6%·(1 − 0,3) = 7,978%

Risposta

WACC = 7,978%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 12,97 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,5/(1 + 0,79·0,25) = 1,253

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 1,253·(1 + 0,79·1) = 2,242

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 4% + 2,242·4% = 12,97%

Risposta

r_e = 12,97%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,834 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 12 000/1,06 = 11 320,75 → Σ = 11 320,75

anno 2: 12 000/1,124 = 10 679,96 → Σ = 22 000,71

anno 3: 12 000/1,191 = 10 075,43 → Σ = 32 076,14

anno 4: 12 000/1,262 = 9 505,12 → Σ = 41 581,27

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 7 923,86/9 505,12 = 3,834

Risposta

DPB = 3,834 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,333 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 20,5 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Fattore di rendita richiesto

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 80 000/22 500 = 3,556

Ricava il tasso

Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.

i = 20%: 3,605

i = 21%: 3,508

IRR = 20,5%

Risposta

IRR = 20,5%

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