Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 22%, capitalizzato giornaliera. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 22%m = 365
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 21 anni. Il conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1004,8% / 12N = 252
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 3% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 3%YTM = 5%n = 8
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Viene venduta a €718. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 2% (2×)n = 6P = €718
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 5,2%. Il tasso privo di rischio è del 1%. Quale rendimento atteso del mercato rm implica il CAPM?
β = 0,6re = 5,2%rf = 1%
rm = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 9%. Il suo debito è costituito da 2 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 8 anni alla scadenza) quotate €1 062 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Una macchina costa €50 000 oggi. Genera €9 500 alla fine di ogni anno per 8 anni e poi può essere venduta a €7 500. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €50 000CF = €9 500S = €7 500n = 8r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €50 000 rende €8 500 alla fine di ogni anno per 8 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €50 000CF = €8 500n = 8
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 24,6 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,22/365 = 0,0006027
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0006027)365 − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%
Risposta
EAR = 24,6%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 43365 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €15,00, i = 0,025, N = 16
Valore attuale delle cedole
€15,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €195,83
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6736 = €673,62
Prezzo
P = €869,45
Risposta
P = €869,45
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,012 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, N = 12
Risolvi numericamente
i = 4,006% per semestre
YTM
YTM = 2·4,006% = 8,012%
Risposta
YTM = 8,012%
5.CAPM e WACC
Risposta: rm = 8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Premio per il rischio di mercato
rm − rf = (5,2% − 1%)/0,6 = 7%
Rendimento di mercato
rm = 1% + 7% = 8%
Risposta
rm = 8%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,442 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
9 500·5,747 = 54 593,07
Valore attuale del valore residuo
7 500/1,851 = 4 052,02
NPV
NPV = −50 000 + 54 593,07 + 4 052,02 = €8 645,09
Risposta
NPV = €8 645,09
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 7,389 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−8)/i = 50 000/8 500 = 5,882
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.