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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €20 000 al 7% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 10 anni.
PV = €20 000r = 7%t = 10
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Vuoi avere €10 000 tra 17 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.
FV = €10 0003% / 12N = 204
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 15 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €545 quando il rendimento a scadenza è del 7%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 15P = €545YTM = 7%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 3 anni e quota €1 040. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €19,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 3%rm = 10%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €50 000 oggi e rende €15 000, €19 000, €12 500, €14 000, €20 500 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €40 000 e rende €23 000, €16 000, €9 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €45 000 e rende €13 500, €18 500, €23 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,07·10 = 0,7
e0,7 = 2,014
Valore futuro
FV = 20 000·2,014 = €40 275,05
Risposta
FV = €40 275,05
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 37,64 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,07)−15 = €362,45
Cedola
C = (545 − 362,45)/9,108 = €20,04
Tasso cedolare
c = 20,04/1000 = 2,004%
Risposta
c = 2,004%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,57 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,57%
Risposta
YTM = 3,57%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,309 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455
WACC
WACC = 0,4545·11% + 0,5455·3%·(1 − 0,2) = 6,309%
Risposta
WACC = 6,309%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,655 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 15 000/1,1 = 13 636,36 → Σ = 13 636,36
anno 2: 19 000/1,21 = 15 702,48 → Σ = 29 338,84
anno 3: 12 500/1,331 = 9 391,44 → Σ = 38 730,28
anno 4: 14 000/1,464 = 9 562,19 → Σ = 48 292,47
anno 5: 20 500/1,611 = 12 728,89 → Σ = 61 021,35
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 1 707,53/12 728,89 = 4,134
Risposta
DPB = 4,134 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,25 anni).
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 6,06 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 13 500 − 23 000 = −9 500
ΔCF2 = 18 500 − 16 000 = 2 500
ΔCF3 = 23 000 − 9 000 = 14 000
TIR della differenza
NPVΔ(6%) = 17,40
NPVΔ(7%) = −266,74
r* = 6,06%
Risposta
r* = 6,06%
Verifica: al 6,06% entrambi i VAN valgono €3 453,40.