Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €3 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 6 anni.

PV = €3 0004% / 4n = 6

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €20 0003,6% / 12N = 72

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 8%YTM = 2,5%n = 5

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 213. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 5%P = €1 213prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 6 anni

YTC = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.

D/E = 1,5r_e = 13%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €8 000 000 e un costo del capitale proprio del 9%. Il suo debito è costituito da 5 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 7%, 7 anni alla scadenza) quotate €1 085 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.

E = €8 000 000r_e = 9%obbligazioni: 5 000 × €1 085cedola = 7%n = 7T = 25%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €30 000 oggi, dura 9 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 5%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.

C₀ = €30 000M = €1 000n = 9r = 5%

EAC = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €13 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 13 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 3809 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·6 = 24

Valore futuro

FV = 3 000·(1 + 0,01)²⁴ = 3 000·1,27 = €3 809,20

Risposta

FV = €3 809,20

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 309,3 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·6 = 72

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,806

A = 20 000·0,003/(1 − 0,806) = €309,27

Risposta

A = €309,27

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1257 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €40,00, i = 0,0125, N = 10

Valore attuale delle cedole

€40,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €373,82

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,8832 = €883,18

Prezzo

P = €1 257,00

Risposta

P = €1 257,00

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 1,991 %

Equazione del rendimento

1213 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1050/(1 + y)⁶

Risolvi numericamente

y = 1%: €1 278,92

y = 2%: €1 212,44

YTC = 1,991%

Risposta

YTC = 1,991%

Il rendimento a scadenza è del 3,501%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 8,044 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi da D/E

E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4

D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6

WACC

WACC = 0,4·13% + 0,6·6%·(1 − 0,21) = 8,044%

Risposta

WACC = 8,044%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,031 %

Costo del debito (YTM)

1085 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 5,504%

Valori di mercato

D = 5 000·€1 085 = €5 425 000

V = €13 425 000, E/V = 0,5959, D/V = 0,4041

WACC

WACC = 0,5959·9% + 0,4041·5,504%·(1 − 0,25) = 7,031%

Risposta

WACC = 7,031%

7.VAN e TIR

Risposta: EAC = 5221 €

Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.

Fattore di rendita

(1 − 1,05⁻⁹)/0,05 = 7,108

Prezzo d’acquisto annualizzato

30 000/7,108 = 4 220,70

EAC

EAC = 4 220,70 + 1 000 = €5 220,70

Risposta

EAC = €5 220,70

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 10,89 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(10%) = 289,26

NPV(15%) = −1 257,09

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 10 + 5·289,26/(289,26 − (−1 257,09)) = 10,94%

esatto: NPV(10,89%) = 0 → IRR = 10,89%

Risposta

IRR = 10,89%

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