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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €5 000 tra 5 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €5 0006% / 4n = 5

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €12 0002,4% / 12N = 48

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 4%n = 3

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 4 anni e quota €930. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 5%n = 4P = €930

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 000 000 azioni quotate €56,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €56 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €0,90 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €67 800 000 e un costo al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.

N = 2 000 000P₀ = €56,50capitale proprio contabile = €56 500 000D₀ = €0,90g = 5%D = €67 800 000r_d = 5%T = 28%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €60 000 oggi e rende €18 500, €19 500, €16 000, €15 000, €13 500 alla fine degli anni da 1 a 5. Il costo del capitale è il 12%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 18 500CF₂ = 19 500CF₃ = 16 000CF₄ = 15 000CF₅ = 13 500

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Il progetto A costa €40 000 e rende €23 000, €16 500, €8 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €45 000 e rende €12 500, €17 000, €26 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.

A: −40 000, 23 000, 16 500, 8 500B: −45 000, 12 500, 17 000, 26 000

r* = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 3712 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·5 = 20

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,347 = €3 712,35

Risposta

PV = €3 712,35

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 262,4 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·4 = 48

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,9086

A = 12 000·0,002/(1 − 0,9086) = €262,44

Risposta

A = €262,44

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1014 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €22,50, i = 0,02, N = 6

Valore attuale delle cedole

€22,50·(1 − 0,888)/0,02 = €126,03

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,888 = €887,97

Prezzo

P = €1 014,00

Risposta

P = €1 014,00

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 7,07 %

Equazione del rendimento

€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Risolvi numericamente

P(7%) = €932,26, P(8%) = €900,64

YTM = 7,07%

Risposta

YTM = 7,07%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,113 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,5·3%·(1 − 0,258) = 6,113%

Risposta

WACC = 6,113%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 5,52 %

Costo del capitale proprio

D₁ = 0,9·1,05 = €0,95

r_e = 0,945/56,5 + 0,05 = 6,673%

Valori di mercato

E = 2 000 000·€56,50 = €113 000 000

V = €180 800 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·6,673% + 0,375·5%·(1 − 0,28) = 5,52%

Risposta

WACC = 5,52%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 4,916 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 18 500/1,12 = 16 517,86 → Σ = 16 517,86

anno 2: 19 500/1,254 = 15 545,28 → Σ = 32 063,14

anno 3: 16 000/1,405 = 11 388,48 → Σ = 43 451,62

anno 4: 15 000/1,574 = 9 532,77 → Σ = 52 984,39

anno 5: 13 500/1,762 = 7 660,26 → Σ = 60 644,66

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 4 + 7 015,61/7 660,26 = 4,916

Risposta

DPB = 4,916 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,4 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: r* = 6,714 %

Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.

Differenza dei flussi di cassa

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 12 500 − 23 000 = −10 500

ΔCF₂ = 17 000 − 16 500 = 500

ΔCF₃ = 26 000 − 8 500 = 17 500

TIR della differenza

NPV_Δ(6%) = 232,68

NPV_Δ(7%) = −91,15

r* = 6,714%

Risposta

r* = 6,714%

Verifica: al 6,714% entrambi i VAN valgono €3 036,38.

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