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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una rendita paga €2 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il tasso di interesse è il 4% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.

A = €2 000i = 4%n = 5

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €25 0002,4% / 12N = 72

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 5%YTM = 9%n = 9

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 9 anni e quota €890. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 9P = €890

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azione con un beta di 0,6 ha un rendimento richiesto del 4,8%. Il tasso privo di rischio è del 1,5%. Quale rendimento atteso del mercato r_m implica il CAPM?

β = 0,6r_e = 4,8%r_f = 1,5%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €45,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 1,8, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.

β = 1,8r_f = 3%r_m = 8%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un progetto costa €60 000 oggi e rende €21 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il costo del capitale è il 10%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 21 000CF₃ = 21 000CF₄ = 21 000CF₅ = 21 000

DPB = anni

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €20 000 e restituisce €12 000, €11 500, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 11 500CF₃ = 9 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 8904 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Fattore di rendita

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,8219)/0,04 = 4,452

Valore attuale

PV = 2 000·4,452 = €8 903,64

Risposta

PV = €8 903,64

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 373,2 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 25 000·0,002/(1 − 0,866) = €373,17

Risposta

A = €373,17

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 756,8 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €25,00, i = 0,045, N = 18

Valore attuale delle cedole

€25,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €304,00

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,4528 = €452,80

Prezzo

P = €756,80

Risposta

P = €756,80

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,514 %

Equazione del rendimento

€890 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Risolvi numericamente

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84

YTM = 4,514%

Risposta

YTM = 4,514%

5.CAPM e WACC

Risposta: r_m = 7 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Premio per il rischio di mercato

r_m − r_f = (4,8% − 1,5%)/0,6 = 5,5%

Rendimento di mercato

r_m = 1,5% + 5,5% = 7%

Risposta

r_m = 7%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 11,21 %

Valori di mercato

E = 1 000 000·€45,50 = €45 500 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,8·5% = 12%

Pesi

V = €50 300 000, E/V = 0,9046, D/V = 0,09543

WACC

WACC = 0,9046·12% + 0,09543·5%·(1 − 0,25) = 11,21%

Risposta

WACC = 11,21%

7.VAN e TIR

Risposta: DPB = 3,542 anni

Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.

Flussi di cassa attualizzati e cumulati

anno 1: 21 000/1,1 = 19 090,91 → Σ = 19 090,91

anno 2: 21 000/1,21 = 17 355,37 → Σ = 36 446,28

anno 3: 21 000/1,331 = 15 777,61 → Σ = 52 223,89

anno 4: 21 000/1,464 = 14 343,28 → Σ = 66 567,17

Frazione dell’ultimo anno

DPB = 3 + 7 776,11/14 343,28 = 3,542

Risposta

DPB = 3,542 anni

Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (2,857 anni).

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 31,33 %

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 359,58

NPV(35%) = −939,90

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·359,58/(359,58 − (−939,90)) = 31,38%

esatto: NPV(31,33%) = 0 → IRR = 31,33%

Risposta

IRR = 31,33%

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