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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 21%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 21%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €10 000 al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €325 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €10 000A = €3257,2% / 12
N = rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 8 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3,5% al 5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 5%n = 8y1 = 3,5%y2 = 5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 3 anni e quota €950. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 3P = €950
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €4 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo delle azioni privilegiate del 7,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 3%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,75. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio è del 2% e il premio per il rischio di mercato è del 6%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1D/E = 0,75T = 25,8%rf = 2%rm − rf = 6%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €36 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 1% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €36 000g = 1%r = 12%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €37 000, €19 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 37 000CF2 = 19 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 22,1 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,21/2 = 0,105
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,105)2 − 1 = 1,221 − 1 = 22,1%
Risposta
EAR = 22,1%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 35 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,006/325 = 0,8154
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,8154)/ln(1,006) = 34,12
Arrotonda a rate intere
34 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 35
Risposta
N = 35 rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −103,1 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69
YTM = 10,01%
Risposta
YTM = 10,01%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,433 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1·(1 + 0,742·0,75) = 1,556
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,556·6% = 11,34%
Risposta
re = 11,34%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 77273 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 36 000/(0,12 − 0,01) = 327 272,73
NPV
NPV = 327 272,73 − 250 000 = €77 272,73
Risposta
NPV = €77 272,73
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 8,896 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 2 471,66
NPV(10%) = −661,16
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.