Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 19,5%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.

r = 19,5%m = 12

EAR = %

2.Valore temporale del denaroDifficile

Versi €6 000 all’inizio di ogni anno per 22 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 5% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 22? Trova FV.

A = €6 000i = 5%n = 22

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 7 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €915 quando il rendimento a scadenza è del 5,5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 7P = €915YTM = 5,5%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 4 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 3%n = 4P = €945

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azione con un beta di 1,4 ha un rendimento richiesto del 11,8%. Il tasso privo di rischio è del 2%. Quale rendimento atteso del mercato r_m implica il CAPM?

β = 1,4r_e = 11,8%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,4 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,6. L’aliquota fiscale è del 25,8%, il tasso privo di rischio del 3% e il premio per il rischio di mercato del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,5D/E₂ = 0,6T = 25,8%r_f = 3%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €18 000, €23 000, €27 000, €18 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 23 000CF₃ = 27 000CF₄ = 18 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €50 000 e restituisce €36 000, €22 500, €31 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 22 500CF₃ = 31 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: EAR = 21,34 %

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso per periodo

r/m = 0,195/12 = 0,01625

Capitalizza su un anno

EAR = (1 + 0,01625)¹² − 1 = 1,213 − 1 = 21,34%

Risposta

EAR = 21,34%

Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 242583 €

Fattore della rendita posticipata

((1 + 0,05)²² − 1)/0,05 = 38,51

Rendita anticipata

Ogni versamento resta investito un anno in più.

FV = 6 000·38,51·1,05 = €242 582,85

Risposta

FV = €242 582,85

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 4,004 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,055)⁻⁷ = €687,44

Cedola

C = (915 − 687,44)/5,683 = €40,04

Tasso cedolare

c = 40,04/1000 = 4,004%

Risposta

c = 4,004%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,534 %

Equazione del rendimento

€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Risolvi numericamente

P(4%) = €963,70, P(5%) = €929,08

YTM = 4,534%

Risposta

YTM = 4,534%

5.CAPM e WACC

Risposta: r_m = 9 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Premio per il rischio di mercato

r_m − r_f = (11,8% − 2%)/1,4 = 7%

Rendimento di mercato

r_m = 2% + 7% = 9%

Risposta

r_m = 9%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 9,641 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,4/(1 + 0,742·0,5) = 1,021

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 1,021·(1 + 0,742·0,6) = 1,476

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,476·4,5% = 9,641%

Risposta

r_e = 9,641%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −7048 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 18 000/1,1 = 16 363,64

CF₂/(1 + 0,1)² = 23 000/1,21 = 19 008,26

CF₃/(1 + 0,1)³ = 27 000/1,331 = 20 285,50

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 18 000/1,464 = 12 294,24

Sommali

NPV = €−7 048,36

Risposta

NPV = €−7 048,36

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 37,51 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(35%) = 1 612,05

NPV(40%) = −1 508,75

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 35 + 5·1 612,05/(1 612,05 − (−1 508,75)) = 37,58%

esatto: NPV(37,51%) = 0 → IRR = 37,51%

Risposta

IRR = 37,51%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation