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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 6 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0004% / 4n = 6
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 7 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €1004,2% / 12N = 84
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 2%YTM = 7%n = 12
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 9%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 4%n = 4YTM = 9%
D = anni
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €52,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 3%T = 25,8%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €14 000, €11 000, €17 000, €18 000. Il costo del capitale è del 15 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €10 000 e restituisce €5 500, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 5 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 11813 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·6 = 24
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,27 = €11 813,49
Risposta
PV = €11 813,49
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 9746 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €10,00, i = 0,035, N = 24
Valore attuale delle cedole
€10,00·(1 − 0,438)/0,035 = €160,58
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,438 = €437,96
Prezzo
P = €598,54
Risposta
P = €598,54
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: D = 3,751 anni
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 40/1,09 = 36,70, t·PV = 36,70
t = 2: 40/1,188 = 33,67, t·PV = 67,33
t = 3: 40/1,295 = 30,89, t·PV = 92,66
t = 4: 1040/1,412 = 736,76, t·PV = 2 947,05
Duration
P = 838,01
D = 3 143,74/838,01 = 3,751
Risposta
D = 3,751 anni
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 10,04 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·11% + 0,1667·7%·(1 − 0,25) = 10,04%
Risposta
WACC = 10,04%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,833 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 14 000/1,15 = 12 173,91
CF2/(1 + 0,15)2 = 11 000/1,322 = 8 317,58
CF3/(1 + 0,15)3 = 17 000/1,521 = 11 177,78
CF4/(1 + 0,15)4 = 18 000/1,749 = 10 291,56
Sommali
NPV = €−3 039,17
Risposta
NPV = €−3 039,17
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,596 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 226,76
NPV(10%) = −454,55
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.