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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 8%n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0004,8% / 12N = 60
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 6 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 210 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 6P = €1 210YTM = 4%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione è quotata €905 con un rendimento a scadenza del 6% (capitalizzazione annuale) e una duration di Macaulay di 11 anni. Usa la duration modificata per stimare il nuovo prezzo P se il rendimento diminuisce di 50 punti base.
P0 = €905y = 6%D = 11Δy = −50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha capitale proprio con un valore di mercato di €15 000 000 e un costo del capitale proprio del 14%. Il suo debito è costituito da 8 000 obbligazioni (valore nominale €1 000, cedola annua 4%, 12 anni alla scadenza) quotate €1 048 ciascuna. L’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC, usando il rendimento a scadenza delle obbligazioni come costo del debito al lordo delle imposte.
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €18 000, €17 000, €11 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un investimento di €40 000 rende €19 000 alla fine di ogni anno per 3 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €40 000CF = €19 000n = 3
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 19964 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6806)/0,08 = 3,993
Valore attuale
PV = 5 000·3,993 = €19 963,55
Risposta
PV = €19 963,55
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 375,6 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,787
A = 20 000·0,004/(1 − 0,787) = €375,59
Risposta
A = €375,59
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 8,006 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−6 = €790,31
Cedola
C = (1210 − 790,31)/5,242 = €80,06
Tasso cedolare
c = 80,06/1000 = 8,006%
Risposta
c = 8,006%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 952 €
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificata
Dmod = 11/1,06 = 10,38
Variazione stimata del prezzo
%ΔP ≈ −10,38·(−0,005) = 5,189%
P ≈ 905·(1 + 0,05189) = €951,96
Risposta
P = €951,96
La duration è una stima lineare; per grandi variazioni del rendimento la convessità rende il prezzo effettivo un po’ più alto.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,971 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·13% + 0,4286·5%·(1 − 0,28) = 8,971%
Risposta
WACC = 8,971%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,985 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 18 000/1,05 = 17 142,86
CF2/(1 + 0,05)2 = 17 000/1,103 = 15 419,50
CF3/(1 + 0,05)3 = 11 000/1,158 = 9 502,21
Sommali
NPV = €−2 935,43
Risposta
NPV = €−2 935,43
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 20,04 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−3)/i = 40 000/19 000 = 2,105
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.