Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €5 000 al 3% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 10 anni.

PV = €5 000r = 3%t = 10

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Risparmi €100 alla fine di ogni mese per 13 anni. Il conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.

A = €1003,6% / 12N = 156

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Acquisti un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.

F = €1 000cedola = 7%n = 11y₀ = 9%y₁ = 8%

HPR = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Viene venduta a €1 035. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 4% (2×)n = 8P = €1 035

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 500 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 14%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.

E = €10 000 000P_s = €1 500 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 8%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,4 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,75. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio del 1,5% e il premio per il rischio di mercato del 6%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 21%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €10 000, €8 000, €11 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 8 000CF₃ = 11 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €20 000 e restituisce €11 000, €9 000, €14 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 9 000CF₃ = 14 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 6749 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,03·10 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Valore futuro

FV = 5 000·1,35 = €6 749,29

Risposta

FV = €6 749,29

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 19856 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·13 = 156

Valore futuro dei versamenti

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,596 − 1)/0,003 = €19 855,97

Risposta

FV = €19 855,97

Tu hai versato €15 600; il resto sono interessi.

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: HPR = 16,09 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo di acquisto

C = €70,00, i = 0,09, N = 11

€70,00·(1 − 0,3875)/0,09 + €1 000·0,3875 = €476,36 + €387,53 = €863,90

Prezzo di vendita

C = €70,00, i = 0,08, N = 10

€70,00·(1 − 0,4632)/0,08 + €1 000·0,4632 = €469,71 + €463,19 = €932,90

Rendimento del periodo di detenzione

HPR = (70 + 932,90 − 863,90)/863,90 = 16,09%

Risposta

HPR = 16,09%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 3,495 %

Per periodo

C = €20,00, N = 16

Risolvi numericamente

i = 1,747% per semestre

YTM

YTM = 2·1,747% = 3,495%

Risposta

YTM = 3,495%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 10,77 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = 10 000 000 + 1 500 000 + 4 000 000 = €15 500 000

E/V = 0,6452, P_s/V = 0,09677, D/V = 0,2581

WACC

WACC = 0,6452·14% + 0,09677·8% + 0,2581·5%·(1 − 0,25) = 10,77%

Risposta

WACC = 10,77%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 13,05 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,4/(1 + 0,79·0,2) = 1,209

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 1,209·(1 + 0,79·0,75) = 1,925

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,925·6% = 13,05%

Risposta

r_e = 13,05%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −3718 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 10 000/1,05 = 9 523,81

CF₂/(1 + 0,05)² = 8 000/1,103 = 7 256,24

CF₃/(1 + 0,05)³ = 11 000/1,158 = 9 502,21

Sommali

NPV = €−3 717,74

Risposta

NPV = €−3 717,74

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 30,55 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 159,31

NPV(35%) = −1 223,39

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·159,31/(159,31 − (−1 223,39)) = 30,58%

esatto: NPV(30,55%) = 0 → IRR = 30,55%

Risposta

IRR = 30,55%

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