Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €1 000 al 7% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 17 anni.

PV = €1 000r = 7%t = 17

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Vuoi avere €50 000 tra 15 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 3% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.

FV = €50 0003% / 12N = 180

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 2% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 2%YTM = 7%n = 3

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 12 anni. Viene venduta a €1 300. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 12P = €1 300

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €49,00 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 7,5%. Trova il WACC.

β = 1,5r_f = 1,5%r_m = 7,5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €10 000, €9 000, €12 000, €13 000. Il costo del capitale è del 5 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 000CF₃ = 12 000CF₄ = 13 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €40 000 e restituisce €27 500, €27 000, €19 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 500CF₂ = 27 000CF₃ = 19 500

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 3287 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Esponente

r·t = 0,07·17 = 1,19

e^1,19 = 3,287

Valore futuro

FV = 1 000·3,287 = €3 287,08

Risposta

FV = €3 287,08

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 220,3 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·15 = 180

Versamento

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,0025/(1,567 − 1) = €220,29

Risposta

A = €220,29

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 866,8 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €10,00, i = 0,035, N = 6

Valore attuale delle cedole

€10,00·(1 − 0,8135)/0,035 = €53,29

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,8135 = €813,50

Prezzo

P = €866,79

Risposta

P = €866,79

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 3,004 %

Per periodo

C = €30,00, N = 24

Risolvi numericamente

i = 1,502% per semestre

YTM

YTM = 2·1,502% = 3,004%

Risposta

YTM = 3,004%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,743 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·8% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,2) = 6,743%

Risposta

WACC = 6,743%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 10,2 %

Valori di mercato

E = 5 000 000·€49,00 = €245 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,5·6% = 10,5%

Pesi

V = €255 500 000, E/V = 0,9589, D/V = 0,0411

WACC

WACC = 0,9589·10,5% + 0,0411·4%·(1 − 0,2) = 10,2%

Risposta

WACC = 10,2%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = 8748 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 10 000/1,05 = 9 523,81

CF₂/(1 + 0,05)² = 9 000/1,103 = 8 163,27

CF₃/(1 + 0,05)³ = 12 000/1,158 = 10 366,05

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 13 000/1,216 = 10 695,13

Sommali

NPV = €8 748,26

Risposta

NPV = €8 748,26

Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 41,08 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(40%) = 524,78

NPV(45%) = −1 796,30

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 40 + 5·524,78/(524,78 − (−1 796,30)) = 41,13%

esatto: NPV(41,08%) = 0 → IRR = 41,08%

Risposta

IRR = 41,08%

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