Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Una rendita paga €500 alla fine di ogni anno per 9 anni. Il tasso di interesse è il 6% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.

A = €500i = 6%n = 9

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €25 0003% / 12N = 36

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 7%YTM = 2,5%n = 4

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Viene venduta a €931. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.

F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 9P = €931

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €5 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,3 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,25. L’aliquota fiscale è del 30%, il tasso privo di rischio del 3,5% e il premio per il rischio di mercato del 4%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €75 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €35 000, €24 000, €21 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 35 000CF₂ = 24 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €25 000 e restituisce €15 000, €15 500, €15 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 500CF₃ = 15 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 3401 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Fattore di rendita

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5919)/0,06 = 6,802

Valore attuale

PV = 500·6,802 = €3 400,85

Risposta

PV = €3 400,85

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 727 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,914

A = 25 000·0,0025/(1 − 0,914) = €727,03

Risposta

A = €727,03

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1170 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €35,00, i = 0,0125, N = 8

Valore attuale delle cedole

€35,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €264,88

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,9054 = €905,40

Prezzo

P = €1 170,28

Risposta

P = €1 170,28

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 6,004 %

Per periodo

C = €25,00, N = 18

Risolvi numericamente

i = 3,002% per semestre

YTM

YTM = 2·3,002% = 6,004%

Risposta

YTM = 6,004%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 10,56 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC

WACC = 0,8333·12% + 0,1667·4,5%·(1 − 0,258) = 10,56%

Risposta

WACC = 10,56%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 10,72 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 1,3/(1 + 0,7·0,5) = 0,963

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,963·(1 + 0,7·1,25) = 1,806

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,806·4% = 10,72%

Risposta

r_e = 10,72%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −5346 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 35 000/1,08 = 32 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 24 000/1,166 = 20 576,13

CF₃/(1 + 0,08)³ = 21 000/1,26 = 16 670,48

Sommali

NPV = €−5 345,98

Risposta

NPV = €−5 345,98

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 37,12 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(35%) = 712,54

NPV(40%) = −911,08

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 35 + 5·712,54/(712,54 − (−911,08)) = 37,19%

esatto: NPV(37,12%) = 0 → IRR = 37,12%

Risposta

IRR = 37,12%

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