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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 15%, capitalizzato mensilmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €8 000 al 3% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €250 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €8 000A = €2503% / 12
N = rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 9 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €926 quando il rendimento a scadenza è del 4%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 9P = €926YTM = 4%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 8 anni e quota €1 130. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 8P = €1 130
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €58,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 30%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 10,5%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 7%T = 30%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €60 000 oggi, dura 8 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 8%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €60 000M = €5 000n = 8r = 8%
EAC = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €25 000 e rende €9 500, €13 500, €8 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 10%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Risposta
EAR = 16,08%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: N = 34 rate
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,0025/250 = 0,92
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,92)/ln(1,002) = 33,39
Arrotonda a rate intere
33 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 34
Risposta
N = 34 rate
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 3,005 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,04)−9 = €702,59
Cedola
C = (926 − 702,59)/7,435 = €30,05
Tasso cedolare
c = 30,05/1000 = 3,005%
Risposta
c = 3,005%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,989 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 130 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(4%) = €1 201,98, P(5%) = €1 129,26
YTM = 4,989%
Risposta
YTM = 4,989%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,444 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·13% + 0,5556·4%·(1 − 0,25) = 7,444%
Risposta
WACC = 7,444%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,526 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 5 000 000·€58,00 = €290 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 0,6·7% = 7,7%
Pesi
V = €309 200 000, E/V = 0,9379, D/V = 0,0621
WACC
WACC = 0,9379·7,7% + 0,0621·7%·(1 − 0,3) = 7,526%
Risposta
WACC = 7,526%
7.VAN e TIR
Risposta: EAC = 15441 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,08−8)/0,08 = 5,747
Prezzo d’acquisto annualizzato
60 000/5,747 = 10 440,89
EAC
EAC = 10 440,89 + 5 000 = €15 440,89
Risposta
EAC = €15 440,89
8.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 20,25 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.