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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €8 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 6% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €8 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €250 alla fine di ogni mese per 8 anni. Il conto rende il 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €2507,2% / 12N = 96
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 9%n = 9
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 9 anni e quota €1 080. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 9P = €1 080
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €22,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 1%rm = 6%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €250 000 oggi. Genera €12 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €250 000CF1 = €12 000g = 4%r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €20 000 e restituisce €13 000, €10 500, €8 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 10 500CF3 = 8 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 266667 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,045, N = 18
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,4528)/0,045 = €273,60
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,4528 = €452,80
Prezzo
P = €726,40
Risposta
P = €726,40
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 2,974 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 080 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Risolvi numericamente
P(2%) = €1 163,24, P(3%) = €1 077,86
YTM = 2,974%
Risposta
YTM = 2,974%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,648 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·10% + 0,2·4,5%·(1 − 0,28) = 8,648%
Risposta
WACC = 8,648%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 4,993 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 12 000/(0,08 − 0,04) = 300 000,00
NPV
NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00
Risposta
NPV = €50 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 30,31 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(30%) = 81,93
NPV(35%) = −1 154,30
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.