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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Ti servono €15 000 tra 4 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €15 0004% / 4n = 4
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €15 0005,4% / 12N = 60
I = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 3,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 3,5%n = 3
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 14 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 106. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 106prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 4 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 1,5. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 1,5re = 9%rd = 3,5%T = 21%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €8,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,5, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 6%. Trova il WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 6%rd = 6%T = 20%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €9 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 4% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 9%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €9 000g = 4%r = 9%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Il progetto A costa €30 000 e rende €17 000, €11 500, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €40 000 e rende €10 500, €16 500, €21 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·4 = 16
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,173 = €12 792,32
Risposta
PV = €12 792,32
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 2150 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,0045, N = 60
A = 15 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−60) = €285,83
Interessi totali
I = N·A − P = 60·285,8 − 15 000 = €2 149,54
Risposta
I = €2 149,54
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1099 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,0175, N = 6
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €197,71
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9011 = €901,14
Prezzo
P = €1 098,86
Risposta
P = €1 098,86
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 3,316 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1106 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 3%: €1 118,77
y = 4%: €1 079,04
YTC = 3,316%
Risposta
YTC = 3,316%
Il rendimento a scadenza è del 3,997%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,259 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·9% + 0,6·3,5%·(1 − 0,21) = 5,259%
Risposta
WACC = 5,259%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,88 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 5 000 000·€8,50 = €42 500 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,5·4,5% = 8,25%
Pesi
V = €47 600 000, E/V = 0,8929, D/V = 0,1071
WACC
WACC = 0,8929·8,25% + 0,1071·6%·(1 − 0,2) = 7,88%
Risposta
WACC = 7,88%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −20000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 9 000/(0,09 − 0,04) = 180 000,00
NPV
NPV = 180 000,00 − 200 000 = −€20 000,00
Risposta
NPV = −€20 000,00
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 6,203 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 500 − 17 000 = −6 500
ΔCF2 = 16 500 − 11 500 = 5 000
ΔCF3 = 21 000 − 7 000 = 14 000
TIR della differenza
NPVΔ(6%) = 72,58
NPVΔ(7%) = −279,40
r* = 6,203%
Risposta
r* = 6,203%
Verifica: al 6,203% entrambi i VAN valgono €2 046,61.