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1Formule e metodi
Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Tensioni dei partitori
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Uscite
Vab = Va − Vb
Bilancio
R1/R2 = R3/R4
Ponte a filo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistenza di Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fattore di taratura
ΔR/R = GF·ε
Uscita del ponte
quarto Vs·GF·ε/4, mezzo Vs·GF·ε/2, intero Vs·GF·ε
Piccola variazione, un ramo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensione
σ = E·ε
Metodo
Tratta il ponte come due partitori di tensione ai capi della stessa alimentazione.
Per l’equilibrio, poni R₁/R₂ = R₃/R₄ e ricava la resistenza incognita.
Per un ponte non equilibrato, ricava Va e Vb dai partitori e sottrai; usa l’equivalente di Thévenin quando uno strumento carica l’uscita.
Per gli estensimetri, converti la deformazione in ΔR/R = GF·ε e usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 per un quarto, mezzo o ponte intero.
Acquisizione dati e campionamento
Criterio di Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequenza di alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Passo di quantizzazione
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento)
±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bit per una risoluzione r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati
canali × fs × N bit/s
ADC multiplexato
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate
baud = fclk/(16·D)
Metodo
Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con fs/2; una frequenza più alta compare a fa = |f − k·fs|, con il multiplo di fs più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = VFSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.
Circuiti con amplificatori operazionali
Amplificatore invertente
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificatore non invertente
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificatore sommatore
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificatore operazionale ideale
V+ = V−, Iin = 0
Resistori in serie e parallelo
Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Thévenin e Norton
Tensione di Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistenza di Thévenin
Rth: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton
IN = Vth/Rth
Corrente nel carico
IL = Vth/(Rth + RL)
Massimo trasferimento di potenza
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metodo
Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è Vth.
Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è Rth.
Ricollega il carico al circuito equivalente: Vth in serie con Rth.
Per l’equivalente di Norton, converti: IN = Vth/Rth, con RN = Rth in parallelo.
2Esercizi
1.Ponte di Wheatstone ed estensimetriMedia
Un galvanometro con una resistenza di 200 Ω è collegato tra a e b del ponte mostrato (Vs = 10 V). Trova la corrente Ig nel galvanometro da a verso b, in µA.
Una cella di carico (un ponte intero di estensimetri) ha un’uscita nominale di 3 mV/V al carico nominale di 500 kg. È eccitata con 5 V. Trova la sua uscita Vo sotto un carico di 400 kg.
3 mV/VFrated = 500 kgVs = 5 VF = 400 kg
Vo = mV
3.Acquisizione dati e campionamentoMedia
Un ADC a 12 bit con campo d’ingresso da 0 a 5 V tronca: il suo codice di uscita è ⌊Vin/LSB⌋ con 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Trova il codice di uscita decimale D per un ingresso di 2,418 V.
N = 12VFSR = 5 VVin = 2,418 V
D =
4.Acquisizione dati e campionamentoDifficile
Un sensore di temperatura fornisce 10 mV/°C (0 V a 0 °C). Il suo segnale è amplificato 1 volte e inviato a un ADC a 12 bit con campo da 0 a 2,5 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Trova la variazione di temperatura ΔTLSB corrispondente a un LSB.
S = 10 mV/°CG = 1N = 12VFSR = 2,5 V
ΔTLSB = °C
5.Circuiti con amplificatori operazionaliMedia
L’amplificatore operazionale è ideale ed è alimentato a ±15 V. Trova la tensione di uscita Vout.
Vin = 1,9 VR1 = 47 kΩRf = 100 kΩ
Vout = V
6.Circuiti con amplificatori operazionaliDifficile
L’integratore usa un amplificatore operazionale ideale alimentato a ±15 V; la sua uscita satura a ±13 V. Il condensatore è scarico quando a t = 0 viene applicato un ingresso costante Vin = 0,4 V. Trova la tensione d’uscita Vout a t = 200 ms.
Trova la corrente di Norton IN: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.
V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
10.Thévenin e NortonDifficile
Un carico RL = 25 Ω è collegato tra a–b. Sostituisci il resto del circuito con il suo equivalente di Thévenin e trova la corrente nel carico IL.
V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩRL = 25 Ω
IL = A
3Soluzioni
1.Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Risposta: Ig = −2358 µA
Ponte di Wheatstone: due partitori di tensione condividono un’unica alimentazione Vs. Il partitore sinistro R1–R2 dà Va = Vs·R2/(R1 + R2) e il partitore destro R3–R4 dà Vb = Vs·R4/(R3 + R4); l’uscita è Vab = Va − Vb. Il ponte è in equilibrio (Vab = 0, nessuna corrente nello strumento) quando R1/R2 = R3/R4, cioè R1·R4 = R2·R3. Visto dall’uscita, il ponte è un generatore di Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Tensione di Thévenin
Vth = 10·(400/480 − 600/660) = −0,7576 V
Resistenza di Thévenin
Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 121,2 Ω
Corrente nel galvanometro
Ig = −0,7576/(121,2 + 200) = −2358 µA
Risposta
Ig = −2358 µA
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Risposta: Vo = 12 mV
Estensimetri: un estensimetro cambia la sua resistenza con la deformazione: ΔR/R = GF·ε, dove il fattore di taratura GF vale circa 2 per un estensimetro a lamina metallica. In un ponte con tutti i rami uguali a R, un estensimetro attivo (quarto di ponte) dà Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Due estensimetri attivi con deformazioni opposte in rami adiacenti (mezzo ponte) danno Vs·GF·ε/2, e quattro (ponte intero) danno Vs·GF·ε. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε. Le celle di carico indicano la loro sensibilità in mV/V: l’uscita a pieno carico per ogni volt di eccitazione.
Uscita a fondo scala
3·5 = 15 mV
Uscita a questo carico
Vo = 15·400/500 = 12 mV
Risposta
Vo = 12 mV
3.Acquisizione dati e campionamento
Risposta: D = 1980
Risoluzione dell’ADC: un convertitore a N bit divide il suo campo di fondo scala VFSR in 2ᴺ codici, da 0 a 2ᴺ − 1. Un passo è 1 LSB = VFSR/2ᴺ: la più piccola variazione che il convertitore può mostrare. Un ADC a troncamento dà il codice ⌊Vin/LSB⌋; un ADC ad arrotondamento non si discosta mai più di ½ LSB dal valore vero, il suo errore di quantizzazione. Ogni bit in più dimezza l’LSB e aggiunge circa 6 dB al rapporto segnale/rumore di quantizzazione ideale SQNR = 6,02·N + 1,76 dB per una sinusoide a fondo scala. Per ottenere una risoluzione r su un campo, scegli il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/r.
Passo di quantizzazione
1 LSB = 5/212 = 1,221 mV
Codice
Vin/LSB = 2418/1,221 = 1981
codice = ⌊1981⌋ = 1980
Risposta
D = 1980
In binario è 011110111100.
4.Acquisizione dati e campionamento
Risposta: ΔTLSB = 0,06104 °C
Risoluzione dell’ADC: un convertitore a N bit divide il suo campo di fondo scala VFSR in 2ᴺ codici, da 0 a 2ᴺ − 1. Un passo è 1 LSB = VFSR/2ᴺ: la più piccola variazione che il convertitore può mostrare. Un ADC a troncamento dà il codice ⌊Vin/LSB⌋; un ADC ad arrotondamento non si discosta mai più di ½ LSB dal valore vero, il suo errore di quantizzazione. Ogni bit in più dimezza l’LSB e aggiunge circa 6 dB al rapporto segnale/rumore di quantizzazione ideale SQNR = 6,02·N + 1,76 dB per una sinusoide a fondo scala. Per ottenere una risoluzione r su un campo, scegli il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/r.
Passo di quantizzazione
1 LSB = 2500/4096 = 0,6104 mV
Sensibilità all’ADC
10·1 = 10 mV/°C
Risoluzione in temperatura
ΔTLSB = 0,6104/10 = 0,06104 °C
Risposta
ΔTLSB = 0,06104 °C
L’ADC arriva a fondo scala a 250 °C.
5.Circuiti con amplificatori operazionali
Risposta: Vout = 5,943 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
L’ingresso invertente segue l’ingresso
V₋ = V₊ = 1,9 V
I = V₋/R1 = 1,9/47 = 0,04043 mA
Tensione di uscita
La corrente in R₁ scorre anche in Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = 1,9 + 0,04043·100 = 5,943 V
Risposta
Vout = 5,943 V
6.Circuiti con amplificatori operazionali
Risposta: Vout = −3,622 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
Corrente d’ingresso e velocità di variazione
kΩ per µF dà millisecondi.
RC = 4,7 kΩ · 4,7 µF = 22,09 ms
velocità di variazione = −Vin/(RC) = −0,4/22,09 = −0,01811 V/ms
Uscita all’istante dato
Il valore ideale è all’interno di ±Vsat, quindi l’integratore non è ancora in saturazione.
Vout = −Vin·t/(RC) = −0,4·200/22,09 = −3,622 V
Risposta
Vout = −3,622 V
7.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 2,264 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω
Req = R1 + 1,778 = 10 + 1,778 = 11,78 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 30/11,78 = 2,547 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,547·10 = 4,528 V
IR2 = VA/R2 = 4,528/2 = 2,264 A
Risposta
IR2 = 2,264 A
8.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,4328 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 13,33 Ω
R3 + 13,33 = 43,33 Ω
R2 ∥ 43,33 = 2,806 Ω
Req = R1 + 2,806 = 8 + 2,806 = 10,81 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 5/10,81 = 0,4627 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,4627·8 = 1,298 V
IR2 = VA/R2 = 1,298/3 = 0,4328 A
Risposta
IR2 = 0,4328 A
9.Thévenin e Norton
Risposta: IN = 2,206 A
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Trova Rth con tutti i generatori spenti
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 4 = 5,667 Ω
Trova Vth, la tensione a vuoto
Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·10/(2+10) = 12,5 V
Equivalente di Norton
Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.
IN = Vth/Rth = 12,5/5,667 = 2,206 A
10.Thévenin e Norton
Risposta: IL = −0,5124 A
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Trova Rth con tutti i generatori spenti
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,077 + 3 = 6,077 Ω
Trova Vth, la tensione a vuoto
Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,308 + (−3)·3,077 = −6,923 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −6,923 + (−3)·3 = −15,92 V
Collega il carico all’equivalente di Thévenin
Il generatore di Thévenin e R_th in serie si comportano esattamente come il circuito originale ai morsetti a–b, quindi il carico vede un semplice anello in serie.
IL = Vth/(Rth + RL) = −15,92/(6,077 + 25) = −0,5124 A