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1Formule e metodi
Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Tensioni dei partitori
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Uscite
Vab = Va − Vb
Bilancio
R1/R2 = R3/R4
Ponte a filo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistenza di Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fattore di taratura
ΔR/R = GF·ε
Uscita del ponte
quarto Vs·GF·ε/4, mezzo Vs·GF·ε/2, intero Vs·GF·ε
Piccola variazione, un ramo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensione
σ = E·ε
Metodo
Tratta il ponte come due partitori di tensione ai capi della stessa alimentazione.
Per l’equilibrio, poni R₁/R₂ = R₃/R₄ e ricava la resistenza incognita.
Per un ponte non equilibrato, ricava Va e Vb dai partitori e sottrai; usa l’equivalente di Thévenin quando uno strumento carica l’uscita.
Per gli estensimetri, converti la deformazione in ΔR/R = GF·ε e usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 per un quarto, mezzo o ponte intero.
Acquisizione dati e campionamento
Criterio di Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequenza di alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Passo di quantizzazione
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento)
±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bit per una risoluzione r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati
canali × fs × N bit/s
ADC multiplexato
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate
baud = fclk/(16·D)
Metodo
Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con fs/2; una frequenza più alta compare a fa = |f − k·fs|, con il multiplo di fs più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = VFSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.
Circuiti con amplificatori operazionali
Amplificatore invertente
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificatore non invertente
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificatore sommatore
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificatore operazionale ideale
V+ = V−, Iin = 0
Resistori in serie e parallelo
Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Thévenin e Norton
Tensione di Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistenza di Thévenin
Rth: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton
IN = Vth/Rth
Corrente nel carico
IL = Vth/(Rth + RL)
Massimo trasferimento di potenza
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metodo
Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è Vth.
Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è Rth.
Ricollega il carico al circuito equivalente: Vth in serie con Rth.
Per l’equivalente di Norton, converti: IN = Vth/Rth, con RN = Rth in parallelo.
2Esercizi
1.Ponte di Wheatstone ed estensimetriMedia
Un ponte ha quattro rami da 350 Ω e Vs = 3 V. Il sensore R₂ aumenta di ΔR = 0,35 Ω. Usando l’approssimazione per piccole variazioni, trova l’uscita Vab in mV.
Vs = 3 VR = 350 ΩΔR = 0,35 Ω
Vab = mV
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetriDifficile
Una cella di carico (un ponte intero di estensimetri) ha un’uscita nominale di 2 mV/V al carico nominale di 500 kg. È eccitata con 10 V. Trova la sua uscita Vo sotto un carico di 125 kg.
2 mV/VFrated = 500 kgVs = 10 VF = 125 kg
Vo = mV
3.Acquisizione dati e campionamentoMedia
Un registratore campiona un canale a 5 kHz con un ADC a 24 bit. Ogni campione è memorizzato in byte interi. Trova la memoria M necessaria per una registrazione di 15 min, in MB (1 MB = 10⁶ byte).
n = 1fs = 5 kHzN = 24t = 15 min
M = MB
4.Acquisizione dati e campionamentoDifficile
Un ADC a 16 bit invia ogni campione tramite UART a 38400 baud, formato 8N1 (bit di start, 8 bit di dati, 1 bit di stop). Ogni campione è inviato come 2 byte interi e il collegamento è occupato in continuazione. Trova la frequenza massima del segnale fmax che può essere campionata senza aliasing, in Hz.
baud = 38400 BdN = 168N1
fmax = Hz
5.Circuiti con amplificatori operazionaliMedia
L’amplificatore operazionale è ideale ed è alimentato a ±15 V; la sua uscita satura a ±13 V. L’amplificatore invertente è pilotato da un’onda sinusoidale. Trova la massima ampiezza d’ingresso Vin,max (valore di picco) per cui l’uscita non viene tagliata.
R1 = 10 kΩRf = 22 kΩVsat = ±13 V
Vin,max = V
6.Circuiti con amplificatori operazionaliDifficile
L’integratore usa un amplificatore operazionale ideale alimentato a ±15 V; la sua uscita satura a ±12 V. Il condensatore è scarico quando a t = 0 viene applicato un ingresso costante Vin = 2,7 V. Trova la tensione d’uscita Vout a t = 0,5 ms.
Ponte di Wheatstone: due partitori di tensione condividono un’unica alimentazione Vs. Il partitore sinistro R1–R2 dà Va = Vs·R2/(R1 + R2) e il partitore destro R3–R4 dà Vb = Vs·R4/(R3 + R4); l’uscita è Vab = Va − Vb. Il ponte è in equilibrio (Vab = 0, nessuna corrente nello strumento) quando R1/R2 = R3/R4, cioè R1·R4 = R2·R3. Visto dall’uscita, il ponte è un generatore di Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Variazione relativa
ΔR/R = 0,35/350 = 0,001
Uscita linearizzata
Vab ≈ 3·0,001/4 = 0,75 mV
Risposta
Vab = 0,75 mV
Il valore esatto è 0,7496 mV; l’approssimazione è buona finché ΔR/R è piccolo.
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Risposta: Vo = 5 mV
Estensimetri: un estensimetro cambia la sua resistenza con la deformazione: ΔR/R = GF·ε, dove il fattore di taratura GF vale circa 2 per un estensimetro a lamina metallica. In un ponte con tutti i rami uguali a R, un estensimetro attivo (quarto di ponte) dà Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Due estensimetri attivi con deformazioni opposte in rami adiacenti (mezzo ponte) danno Vs·GF·ε/2, e quattro (ponte intero) danno Vs·GF·ε. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε. Le celle di carico indicano la loro sensibilità in mV/V: l’uscita a pieno carico per ogni volt di eccitazione.
Uscita a fondo scala
2·10 = 20 mV
Uscita a questo carico
Vo = 20·125/500 = 5 mV
Risposta
Vo = 5 mV
3.Acquisizione dati e campionamento
Risposta: M = 13,5 MB
Velocità dei dati: ogni canale fornisce fs campioni al secondo da N bit, quindi la velocità grezza è canali × fs × N bit/s. In memoria un campione occupa byte interi (un campione a 12 bit è memorizzato in 2 byte), quindi la memoria per una registrazione è canali × fs × byte per campione × tempo. Un ADC multiplexato converte i canali uno dopo l’altro: ogni conversione (con assestamento) richiede t, quindi un giro di n canali richiede n·t e ogni canale è campionato a 1/(n·t).
Byte per campione
⌈24/8⌉ = 3 B
Byte al secondo
1·5000·3 = 15000 B/s
Memoria
M = 15000·900 = 1,35 × 10⁷ B = 13,5 MB
Risposta
M = 13,5 MB
4.Acquisizione dati e campionamento
Risposta: fmax = 960 Hz
UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura Tb = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = fclk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.
Bit per campione sulla linea
2·10 = 20 bit
Frequenza di campionamento massima
fs,max = 38400/20 = 1920 Hz
Limite di Nyquist
fmax = 1920/2 = 960 Hz
Risposta
fmax = 960 Hz
5.Circuiti con amplificatori operazionali
Risposta: Vin,max = 5,909 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
Guadagno
|Av| = Rf/R1 = 22/10 = 2,2
Massimo ingresso prima del taglio
Vin,max = Vsat/|Av| = 13/2,2 = 5,909 V
Risposta
Vin,max = 5,909 V
6.Circuiti con amplificatori operazionali
Risposta: Vout = −2,789 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
Corrente d’ingresso e velocità di variazione
kΩ per µF dà millisecondi.
RC = 2,2 kΩ · 0,22 µF = 0,484 ms
velocità di variazione = −Vin/(RC) = −2,7/0,484 = −5,579 V/ms
Uscita all’istante dato
Il valore ideale è all’interno di ±Vsat, quindi l’integratore non è ancora in saturazione.
Vout = −Vin·t/(RC) = −2,7·0,5/0,484 = −2,789 V
Risposta
Vout = −2,789 V
7.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR1 = 1,095 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 6·17/(6+17) = 4,435 Ω
Req = R1 + 4,435 = 12 + 4,435 = 16,43 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 18/16,43 = 1,095 A
Risposta
IR1 = 1,095 A
8.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,3757 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 12 + 30 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 11,05 Ω
R3 + 11,05 = 19,05 Ω
R2 ∥ 19,05 = 2,592 Ω
Req = R1 + 2,592 = 25 + 2,592 = 27,59 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 12/27,59 = 0,4349 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,4349·25 = 1,127 V
IR2 = VA/R2 = 1,127/3 = 0,3757 A
Risposta
IR2 = 0,3757 A
9.Thévenin e Norton
Risposta: Vth = 2,455 V
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Trova Rth con tutti i generatori spenti
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 3 = 5,182 Ω
Trova Vth, la tensione a vuoto
Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·3/(8+3) = 2,455 V
10.Thévenin e Norton
Risposta: PL = 35,73 W
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Trova Rth con tutti i generatori spenti
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
R1 ∥ R2 = 2·2/(2+2) = 1 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1 + 30 = 31 Ω
Trova Vth, la tensione a vuoto
Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9 + 2·1 = 11 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11 + 2·30 = 71 V
Collega il carico all’equivalente di Thévenin
Il generatore di Thévenin e R_th in serie si comportano esattamente come il circuito originale ai morsetti a–b, quindi il carico vede un semplice anello in serie.