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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Tensioni dei partitori
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Uscite
Vab = Va − Vb
Bilancio
R1/R2 = R3/R4
Ponte a filo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistenza di Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fattore di taratura
ΔR/R = GF·ε
Uscita del ponte
quarto Vs·GF·ε/4, mezzo Vs·GF·ε/2, intero Vs·GF·ε
Piccola variazione, un ramo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensione
σ = E·ε

Metodo

  1. Tratta il ponte come due partitori di tensione ai capi della stessa alimentazione.
  2. Per l’equilibrio, poni R₁/R₂ = R₃/R₄ e ricava la resistenza incognita.
  3. Per un ponte non equilibrato, ricava Va e Vb dai partitori e sottrai; usa l’equivalente di Thévenin quando uno strumento carica l’uscita.
  4. Per gli estensimetri, converti la deformazione in ΔR/R = GF·ε e usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 per un quarto, mezzo o ponte intero.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequenza di alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Passo di quantizzazione
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento)
±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bit per una risoluzione r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati
canali × fs × N bit/s
ADC multiplexato
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate
baud = fclk/(16·D)

Metodo

  1. Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
  2. Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con fs/2; una frequenza più alta compare a fa = |f − k·fs|, con il multiplo di fs più vicino.
  3. Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = VFSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
  4. Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

Circuiti con amplificatori operazionali

Amplificatore invertente
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificatore non invertente
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificatore sommatore
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificatore operazionale ideale
V+ = V−, Iin = 0

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Thévenin e Norton

Tensione di Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistenza di Thévenin
Rth: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton
IN = Vth/Rth
Corrente nel carico
IL = Vth/(Rth + RL)
Massimo trasferimento di potenza
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metodo

  1. Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
  2. Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è Vth.
  3. Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è Rth.
  4. Ricollega il carico al circuito equivalente: Vth in serie con Rth.
  5. Per l’equivalente di Norton, converti: IN = Vth/Rth, con RN = Rth in parallelo.

2Esercizi

1.Ponte di Wheatstone ed estensimetriMedia
+−15 VR1​ = 100 ΩR2​ = 120 ΩR3​ = 40 ΩR4​ = 300 Ωab+−Rth​ = ?

Trova la resistenza di Thévenin Rth del ponte mostrato, vista dai morsetti di uscita a e b.

Vs = 15 VR1 = 100 ΩR2 = 120 ΩR3 = 40 ΩR4 = 300 Ω
Rth = Ω
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetriDifficile
+−5 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−3,15 mV

Un estensimetro (GF = 2,1) su un elemento con E = 110 GPa forma un quarto di ponte eccitato con 5 V. L’uscita indica 3,15 mV. Trova la tensione assiale σ in MPa.

Vs = 5 VGF = 2,1Vo = 3,15 mVE = 110 GPa
σ = MPa
3.Acquisizione dati e campionamentoMedia
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​38400 Bd, 8E1

Una UART invia byte a 38400 baud nel formato 8E1: 8 bit di dati, un bit di parità pari e 1 bit di stop, più il bit di start. Trova il massimo numero di byte di dati al secondo che può trasferire.

baud = 38400 Bd8E1
RB = B/s
4.Acquisizione dati e campionamentoDifficile
124⋮4 ch∿01tc​ = 1 µstset​ = 2 µsfs​ = ?

Un multiplexer a 4 canali alimenta un solo ADC. Ogni conversione dura 1 µs e dopo ogni commutazione di canale l’ingresso richiede 2 µs per assestarsi. I canali sono scansionati a turno senza pause. Trova la frequenza di campionamento fs di ciascun canale, in kHz.

n = 4tc = 1 µstset = 2 µs
fs = kHz
5.Circuiti con amplificatori operazionaliMedia
−+Vout​Rf​ = 22 kΩR1​ = 10 kΩVin​

L’amplificatore operazionale è ideale ed è alimentato a ±15 V; la sua uscita satura a ±14 V. L’amplificatore non invertente è pilotato da un’onda sinusoidale. Trova la massima ampiezza d’ingresso Vin,max (valore di picco) per cui l’uscita non viene tagliata.

R1 = 10 kΩRf = 22 kΩVsat = ±14 V
Vin,max = V
6.Circuiti con amplificatori operazionaliDifficile
−+Vout​Rf​ = 10 kΩV1​ = −1,3 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 0,9 VR2​ = 47 kΩ

L’amplificatore sommatore usa un amplificatore operazionale ideale alimentato a ±15 V. Trova la tensione di uscita Vout.

V1 = −1,3 VV2 = 0,9 VR1 = 4,7 kΩR2 = 47 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
7.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩIR2​AR4​8 ΩB

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
8.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​30 Ω

Trova la corrente IR2 in R2.

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
9.Thévenin e NortonMedia
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩARL​3 ΩIL​B

Un carico RL = 3 Ω è collegato tra a–b. Sostituisci il resto del circuito con il suo equivalente di Thévenin e trova la corrente nel carico IL.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.Thévenin e NortonDifficile
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAIs​4 ABab

Trova la corrente di Norton IN: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.

V1 = 9 VIs = 4 AR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 30 Ω
IN = A

3Soluzioni

1.Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Risposta: Rth = 89,84 Ω

Ponte di Wheatstone: due partitori di tensione condividono un’unica alimentazione Vs. Il partitore sinistro R1–R2 dà Va = Vs·R2/(R1 + R2) e il partitore destro R3–R4 dà Vb = Vs·R4/(R3 + R4); l’uscita è Vab = Va − Vb. Il ponte è in equilibrio (Vab = 0, nessuna corrente nello strumento) quando R1/R2 = R3/R4, cioè R1·R4 = R2·R3. Visto dall’uscita, il ponte è un generatore di Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Alimentazione in cortocircuito

R₁∥R₂ = 100·120/220 = 54,55 Ω
R₃∥R₄ = 40·300/340 = 35,29 Ω

Resistenza di Thévenin

Rth = 89,84 Ω

Risposta

Rth = 89,84 Ω
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Risposta: σ = 132 MPa

Estensimetri: un estensimetro cambia la sua resistenza con la deformazione: ΔR/R = GF·ε, dove il fattore di taratura GF vale circa 2 per un estensimetro a lamina metallica. In un ponte con tutti i rami uguali a R, un estensimetro attivo (quarto di ponte) dà Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Due estensimetri attivi con deformazioni opposte in rami adiacenti (mezzo ponte) danno Vs·GF·ε/2, e quattro (ponte intero) danno Vs·GF·ε. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε. Le celle di carico indicano la loro sensibilità in mV/V: l’uscita a pieno carico per ogni volt di eccitazione.

Deformazione

ε = 4·0,00315/(5·2,1) = 0,0012

Tensione

σ = 110·10³ MPa·0,0012 = 132 MPa

Risposta

σ = 132 MPa
3.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: RB = 3491 B/s

UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura Tb = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = fclk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.

Bit per frame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Byte al secondo

38400/11 = 3491 B/s

Risposta

RB = 3491 B/s
4.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: fs = 83,33 kHz

Velocità dei dati: ogni canale fornisce fs campioni al secondo da N bit, quindi la velocità grezza è canali × fs × N bit/s. In memoria un campione occupa byte interi (un campione a 12 bit è memorizzato in 2 byte), quindi la memoria per una registrazione è canali × fs × byte per campione × tempo. Un ADC multiplexato converte i canali uno dopo l’altro: ogni conversione (con assestamento) richiede t, quindi un giro di n canali richiede n·t e ogni canale è campionato a 1/(n·t).

Tempo per canale

1 + 2 = 3 µs

Tempo per scansione

4·3 = 12 µs

Frequenza di campionamento per canale

fs = 1/12 µs = 83,33 kHz

Risposta

fs = 83,33 kHz
5.Circuiti con amplificatori operazionali

Risposta: Vin,max = 4,375 V

Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.

Guadagno

Av = 1 + Rf/R1 = 1 + 22/10 = 3,2

Massimo ingresso prima del taglio

Vin,max = Vsat/|Av| = 14/3,2 = 4,375 V

Risposta

Vin,max = 4,375 V
6.Circuiti con amplificatori operazionali

Risposta: Vout = 2,574 V

Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.

Correnti di ingresso

V₋ = 0, quindi ogni resistore di ingresso ha ai capi l’intera tensione di ingresso.

I1 = V1/R1 = −1,3/4,7 = −0,2766 mA
I2 = V2/R2 = 0,9/47 = 0,01915 mA
If = I1 + I2 = −0,2574 mA

Tensione di uscita

Vout = −Rf·If = −10·(−0,2574) = 2,574 V

Risposta

Vout = 2,574 V
7.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 2,685 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAR4​8 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3,81 Ω
Req = R1 + 3,81 = 3 + 3,81 = 6,81 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 24/6,81 = 3,524 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 3,524·3 = 13,43 V
IR2 = VA/R2 = 13,43/5 = 2,685 A

Risposta

IR2 = 2,685 A
8.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR2 = 1,484 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​6 ΩBR6​30 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 5,122 Ω
R3 + 5,122 = 7,122 Ω
R2 ∥ 7,122 = 2,111 Ω
Req = R1 + 2,111 = 5 + 2,111 = 7,111 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 15/7,111 = 2,109 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 2,109·5 = 4,453 V
IR2 = VA/R2 = 4,453/3 = 1,484 A

Risposta

IR2 = 1,484 A
9.Thévenin e Norton

Risposta: IL = 1,538 A

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 ΩCORTOR2​12 ΩAabRth​

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 12 = 13,71 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAab+−Vth​

Trova Vth, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·12/(2+12) = 25,71 V
Rth​ = 13,71 Ω+−Vth​25,71 VRL​3 ΩIL​

Collega il carico all’equivalente di Thévenin

Il generatore di Thévenin e R_th in serie si comportano esattamente come il circuito originale ai morsetti a–b, quindi il carico vede un semplice anello in serie.

IL = Vth/(Rth + RL) = 25,71/(13,71 + 3) = 1,538 A
10.Thévenin e Norton

Risposta: IN = 4,173 A

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩCORTOR2​3 ΩAAPERTOBabRth​

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,2 + 30 = 31,2 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

Trova Vth, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,4 + 4·1,2 = 10,2 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 10,2 + 4·30 = 130,2 V
IN​4,173 ARth​31,2 Ωab

Equivalente di Norton

Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.

IN = Vth/Rth = 130,2/31,2 = 4,173 A

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