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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Tensioni dei partitori: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Uscite: V_ab = V_a − V_b
Bilancio: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte a filo: R/R_x = l/(100 − l)
Resistenza di Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fattore di taratura: ΔR/R = GF·ε
Uscita del ponte: quarto V_s·GF·ε/4, mezzo V_s·GF·ε/2, intero V_s·GF·ε
Piccola variazione, un ramo: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensione: σ = E·ε

Metodo

Tratta il ponte come due partitori di tensione ai capi della stessa alimentazione.
Per l’equilibrio, poni R₁/R₂ = R₃/R₄ e ricava la resistenza incognita.
Per un ponte non equilibrato, ricava V_a e V_b dai partitori e sottrai; usa l’equivalente di Thévenin quando uno strumento carica l’uscita.
Per gli estensimetri, converti la deformazione in ΔR/R = GF·ε e usa V_s·GF·ε/4, /2 o ×1 per un quarto, mezzo o ponte intero.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequenza di alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Passo di quantizzazione: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento): ±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bit per una risoluzione r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati: canali × f_s × N bit/s
ADC multiplexato: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metodo

Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con f_s/2; una frequenza più alta compare a f_a = |f − k·f_s|, con il multiplo di f_s più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

Circuiti con amplificatori operazionali

Amplificatore invertente: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificatore non invertente: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificatore sommatore: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificatore operazionale ideale: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Thévenin e Norton

Tensione di Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistenza di Thévenin: R_th: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente nel carico: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Massimo trasferimento di potenza: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodo

Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è V_th.
Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è R_th.
Ricollega il carico al circuito equivalente: V_th in serie con R_th.
Per l’equivalente di Norton, converti: I_N = V_th/R_th, con R_N = R_th in parallelo.

2Esercizi

1.Ponte di Wheatstone ed estensimetriMedia

Un ponte con quattro rami da 470 Ω è alimentato con 10 V. Quando il sensore R₂ cambia, l’uscita indica V_ab = 49,5 mV. Trova la variazione esatta ΔR di R₂.

V_s = 10 VR = 470 ΩV_ab = 49,5 mV

ΔR = Ω

2.Ponte di Wheatstone ed estensimetriDifficile

Un quarto di ponte (un estensimetro attivo, GF = 2,12) è eccitato con 10 V. La massima deformazione da misurare è 1200 µε e deve dare 2,5 V all’ingresso di un convertitore analogico-digitale. Trova il guadagno dell’amplificatore G.

V_s = 10 VGF = 2,12ε_max = 1200 µεV_FS = 2,5 V

G =

3.Acquisizione dati e campionamentoMedia

Una UART invia byte a 2400 baud nel formato 8E1: 8 bit di dati, un bit di parità pari e 1 bit di stop, più il bit di start. Trova il massimo numero di byte di dati al secondo che può trasferire.

baud = 2400 Bd8E1

R_B = B/s

4.Acquisizione dati e campionamentoDifficile

Un microcontrollore con clock a 8 MHz imposta il baud rate della UART come f_clk/(16·D), con D un numero intero arrotondato al valore più vicino. Il valore desiderato è 115200 baud. Trova l’errore percentuale del baud rate reale (positivo se è troppo veloce).

f_clk = 8 MHzvalore desiderato = 115200 Bd

e = %

5.Circuiti con amplificatori operazionaliMedia

Scegli il resistore di retroazione R_f che dà a questo amplificatore non invertente un guadagno di tensione di 3.

R₁ = 4,7 kΩA_v = 3

R_f = kΩ

6.Circuiti con amplificatori operazionaliDifficile

L’amplificatore sommatore usa un amplificatore operazionale ideale alimentato a ±15 V. Trova la corrente I_f nel resistore di retroazione, che scorre verso l’uscita.

V₁ = −0,4 VV₂ = −0,2 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 4,7 kΩ

I_f = mA

7.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

8.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin e NortonMedia

Trova la corrente di Norton I_N: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

10.Thévenin e NortonDifficile

Trova la corrente di Norton I_N: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.

V₁ = 6 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

3Soluzioni

1.Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Risposta: ΔR = 9,399 Ω

Ponte di Wheatstone: due partitori di tensione condividono un’unica alimentazione V_s. Il partitore sinistro R₁–R₂ dà V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e il partitore destro R₃–R₄ dà V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); l’uscita è V_ab = V_a − V_b. Il ponte è in equilibrio (V_ab = 0, nessuna corrente nello strumento) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, cioè R₁·R₄ = R₂·R₃. Visto dall’uscita, il ponte è un generatore di Thévenin con R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensione del nodo

V_a = 5 + 0,0495 = 5,05 V

Risolvi il partitore

R₂ = 470·5,05/(10 − 5,05) = 479,4 Ω

ΔR = 479,4 − 470 = 9,399 Ω

Risposta

ΔR = 9,399 Ω

2.Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Risposta: G = 393,1

Estensimetri: un estensimetro cambia la sua resistenza con la deformazione: ΔR/R = GF·ε, dove il fattore di taratura GF vale circa 2 per un estensimetro a lamina metallica. In un ponte con tutti i rami uguali a R, un estensimetro attivo (quarto di ponte) dà V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Due estensimetri attivi con deformazioni opposte in rami adiacenti (mezzo ponte) danno V_s·GF·ε/2, e quattro (ponte intero) danno V_s·GF·ε. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε. Le celle di carico indicano la loro sensibilità in mV/V: l’uscita a pieno carico per ogni volt di eccitazione.

Uscita del ponte a fondo scala

V_o = 6,36 mV

Guadagno

G = 2,5/0,00636 = 393,1

Risposta

G = 393,1

3.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: R_B = 218,2 B/s

UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura T_b = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = f_clk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.

Bit per frame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Byte al secondo

2400/11 = 218,2 B/s

Risposta

R_B = 218,2 B/s

4.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: e = 8,507 %

Divisore

D = 8·10⁶/(16·115200) = 4,34 → 4

Baud rate reale

8·10⁶/(16·4) = 125000 Bd

Errore

(125000 − 115200)/115200·100 = 8,507 %

Risposta

e = 8,507 %

Un errore sopra circa il 2 % rende il collegamento inaffidabile: scegli un altro clock o un altro baud rate.

5.Circuiti con amplificatori operazionali

Risposta: R_f = 9,4 kΩ

Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.

Guadagno di un amplificatore non invertente

V₋ = V₊ = V_in, e la corrente in R₁ scorre anche in R_f, quindi V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (3 − 1)·4,7 = 9,4 kΩ

Risposta

R_f = 9,4 kΩ

6.Circuiti con amplificatori operazionali

Risposta: I_f = −0,0942 mA

Correnti di ingresso

V₋ = 0, quindi ogni resistore di ingresso ha ai capi l’intera tensione di ingresso.

I₁ = V₁/R₁ = −0,4/4,7 = −0,08511 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,2/22 = −0,009091 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,0942 mA

Risposta

I_f = −0,0942 mA

7.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,417 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 15 + 12 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 8·27/(8+27) = 6,171 Ω

R_eq = R₁ + 6,171 = 15 + 6,171 = 21,17 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/21,17 = 1,417 A

Risposta

I_R1 = 1,417 A

8.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,2216 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 2,791 Ω

R₃ + 2,791 = 10,79 Ω

R₂ ∥ 10,79 = 3,417 Ω

R_eq = R₁ + 3,417 = 12 + 3,417 = 15,42 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/15,42 = 0,3243 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3243·12 = 1,108 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,108/5 = 0,2216 A

Risposta

I_R2 = 0,2216 A

9.Thévenin e Norton

Risposta: I_N = 1,125 A

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione V_th in serie con una resistenza R_th. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente I_N = V_th/R_th in parallelo con R_th.

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 2 = 3,2 Ω

Trova V_th, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·3/(2+3) = 3,6 V

Equivalente di Norton

Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.

I_N = V_th/R_th = 3,6/3,2 = 1,125 A

10.Thévenin e Norton

Risposta: I_N = 1,462 A

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R₁ ∥ R₂ = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 5 = 9,286 Ω

Trova V_th, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,286 + 1·4,286 = 8,571 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,571 + 1·5 = 13,57 V

Equivalente di Norton

Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.

I_N = V_th/R_th = 13,57/9,286 = 1,462 A

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Acquisizione dati e campionamento

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Resistori in serie e parallelo

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Thévenin e Norton

Metodo

2Esercizi

3Soluzioni

Tensione del nodo

Risolvi il partitore

Risposta

Uscita del ponte a fondo scala

Guadagno

Risposta

Bit per frame

Byte al secondo

Risposta

Divisore

Baud rate reale

Errore

Risposta

Guadagno di un amplificatore non invertente

Risposta

Correnti di ingresso

Risposta

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Corrente dal generatore

Risposta

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Corrente dal generatore

Corrente in R₂

Risposta

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Trova Vth, la tensione a vuoto

Equivalente di Norton

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Trova Vth, la tensione a vuoto

Equivalente di Norton

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Trova V_th, la tensione a vuoto

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Trova V_th, la tensione a vuoto