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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Tensioni dei partitori: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Uscite: V_ab = V_a − V_b
Bilancio: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte a filo: R/R_x = l/(100 − l)
Resistenza di Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fattore di taratura: ΔR/R = GF·ε
Uscita del ponte: quarto V_s·GF·ε/4, mezzo V_s·GF·ε/2, intero V_s·GF·ε
Piccola variazione, un ramo: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensione: σ = E·ε

Metodo

Tratta il ponte come due partitori di tensione ai capi della stessa alimentazione.
Per l’equilibrio, poni R₁/R₂ = R₃/R₄ e ricava la resistenza incognita.
Per un ponte non equilibrato, ricava V_a e V_b dai partitori e sottrai; usa l’equivalente di Thévenin quando uno strumento carica l’uscita.
Per gli estensimetri, converti la deformazione in ΔR/R = GF·ε e usa V_s·GF·ε/4, /2 o ×1 per un quarto, mezzo o ponte intero.

Acquisizione dati e campionamento

Criterio di Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequenza di alias: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Passo di quantizzazione: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento): ±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bit per una risoluzione r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati: canali × f_s × N bit/s
ADC multiplexato: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate: baud = f_clk/(16·D)

Metodo

Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con f_s/2; una frequenza più alta compare a f_a = |f − k·f_s|, con il multiplo di f_s più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.

Circuiti con amplificatori operazionali

Amplificatore invertente: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificatore non invertente: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificatore sommatore: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificatore operazionale ideale: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Thévenin e Norton

Tensione di Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistenza di Thévenin: R_th: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente nel carico: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Massimo trasferimento di potenza: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodo

Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è V_th.
Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è R_th.
Ricollega il carico al circuito equivalente: V_th in serie con R_th.
Per l’equivalente di Norton, converti: I_N = V_th/R_th, con R_N = R_th in parallelo.

2Esercizi

1.Ponte di Wheatstone ed estensimetriMedia

Un ponte ha quattro rami da 150 Ω e V_s = 12 V. Il sensore R₂ aumenta di ΔR = 22,5 Ω. Trova l’uscita esatta V_ab in mV.

V_s = 12 VR = 150 ΩΔR = 22,5 Ω

V_ab = mV

2.Ponte di Wheatstone ed estensimetriDifficile

Un quarto di ponte con un estensimetro attivo (GF = 2) è eccitato con 3 V. Sotto carico l’uscita indica 1,2 mV. Trova la deformazione ε in µε.

V_s = 3 VGF = 2V_o = 1,2 mV

ε = µε

3.Acquisizione dati e campionamentoMedia

Un registratore campiona 2 canali a 5 kHz ciascuno con un ADC a 24 bit. Ogni campione è memorizzato in byte interi. Trova la memoria M necessaria per una registrazione di 60 min, in MB (1 MB = 10⁶ byte).

n = 2f_s = 5 kHzN = 24t = 60 min

M = MB

4.Acquisizione dati e campionamentoDifficile

Un multiplexer a 2 canali alimenta un solo ADC. Ogni conversione dura 2 µs e dopo ogni commutazione di canale l’ingresso richiede 2 µs per assestarsi. I canali sono scansionati a turno senza pause. Trova la frequenza di campionamento f_s di ciascun canale, in kHz.

n = 2t_c = 2 µst_set = 2 µs

f_s = kHz

5.Circuiti con amplificatori operazionaliMedia

L’amplificatore operazionale è ideale ed è alimentato a ±15 V. Trova la tensione di uscita V_out.

V_in = 3,5 VR_a = 1 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

6.Circuiti con amplificatori operazionaliDifficile

L’amplificatore sommatore usa un amplificatore operazionale ideale alimentato a ±15 V. Trova la tensione di uscita V_out.

V₁ = 1,1 VV₂ = −0,8 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

7.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin e NortonMedia

Trova la corrente di Norton I_N: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

10.Thévenin e NortonDifficile

Un carico R_L = 20 Ω è collegato tra a–b. Sostituisci il resto del circuito con il suo equivalente di Thévenin e trova la corrente nel carico I_L.

V₁ = 5 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

3Soluzioni

1.Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Risposta: V_ab = 418,6 mV

Ponte di Wheatstone: due partitori di tensione condividono un’unica alimentazione V_s. Il partitore sinistro R₁–R₂ dà V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e il partitore destro R₃–R₄ dà V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); l’uscita è V_ab = V_a − V_b. Il ponte è in equilibrio (V_ab = 0, nessuna corrente nello strumento) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, cioè R₁·R₄ = R₂·R₃. Visto dall’uscita, il ponte è un generatore di Thévenin con R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensioni dei nodi

V_a = 12·172,5/322,5 = 6,419 V

V_b = 6 V

Uscite

V_ab = 418,6 mV

Risposta

V_ab = 418,6 mV

La stima lineare V_s·ΔR/(4R) = 450 mV è del 7,5 % troppo alta: un quarto di ponte non è del tutto lineare.

2.Ponte di Wheatstone ed estensimetri

Risposta: ε = 800 µε

Estensimetri: un estensimetro cambia la sua resistenza con la deformazione: ΔR/R = GF·ε, dove il fattore di taratura GF vale circa 2 per un estensimetro a lamina metallica. In un ponte con tutti i rami uguali a R, un estensimetro attivo (quarto di ponte) dà V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Due estensimetri attivi con deformazioni opposte in rami adiacenti (mezzo ponte) danno V_s·GF·ε/2, e quattro (ponte intero) danno V_s·GF·ε. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε. Le celle di carico indicano la loro sensibilità in mV/V: l’uscita a pieno carico per ogni volt di eccitazione.

Risolvi l’equazione del quarto di ponte

ε = 4·0,0012/(3·2) = 0,0008

In microdeformazioni

ε = 800 µε

Risposta

ε = 800 µε

3.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: M = 108 MB

Velocità dei dati: ogni canale fornisce f_s campioni al secondo da N bit, quindi la velocità grezza è canali × f_s × N bit/s. In memoria un campione occupa byte interi (un campione a 12 bit è memorizzato in 2 byte), quindi la memoria per una registrazione è canali × f_s × byte per campione × tempo. Un ADC multiplexato converte i canali uno dopo l’altro: ogni conversione (con assestamento) richiede t, quindi un giro di n canali richiede n·t e ogni canale è campionato a 1/(n·t).

Byte per campione

⌈24/8⌉ = 3 B

Byte al secondo

2·5000·3 = 30000 B/s

Memoria

M = 30000·3600 = 1,08 × 10⁸ B = 108 MB

Risposta

M = 108 MB

4.Acquisizione dati e campionamento

Risposta: f_s = 125 kHz

Tempo per canale

2 + 2 = 4 µs

Tempo per scansione

2·4 = 8 µs

Frequenza di campionamento per canale

f_s = 1/8 µs = 125 kHz

Risposta

f_s = 125 kHz

5.Circuiti con amplificatori operazionali

Risposta: V_out = 7,467 V

Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.

Tensione all’ingresso +

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3,5·2/(1 + 2) = 2,333 V

Guadagno non invertente

V₋ = V₊, e la corrente in R₁ scorre anche in R_f.

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 2,333·(1 + 22/10) = 7,467 V

Risposta

V_out = 7,467 V

6.Circuiti con amplificatori operazionali

Risposta: V_out = −1,4 V

Correnti di ingresso

V₋ = 0, quindi ogni resistore di ingresso ha ai capi l’intera tensione di ingresso.

I₁ = V₁/R₁ = 1,1/1 = 1,1 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,8/2 = −0,4 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,7 mA

Tensione di uscita

V_out = −R_f·I_f = −2·0,7 = −1,4 V

Risposta

V_out = −1,4 V

7.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 4,5 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 2 + 3,333 = 5,333 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/5,333 = 4,5 A

Risposta

I_R1 = 4,5 A

8.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 13,66 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 10 + 15 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 7,143 Ω

R₃ + 7,143 = 27,14 Ω

R₂ ∥ 27,14 = 9,661 Ω

R_eq = R₁ + 9,661 = 4 + 9,661 = 13,66 Ω

Risposta

R_eq = 13,66 Ω

9.Thévenin e Norton

Risposta: I_N = 0,9677 A

Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione V_th in serie con una resistenza R_th. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente I_N = V_th/R_th in parallelo con R_th.

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,455 + 3 = 8,455 Ω

Trova V_th, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·12/(10+12) = 8,182 V

Equivalente di Norton

Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.

I_N = V_th/R_th = 8,182/8,455 = 0,9677 A

10.Thévenin e Norton

Risposta: I_L = −0,9382 A

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 3 = 4,765 Ω

Trova V_th, la tensione a vuoto

Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 0,5882 + (−5)·1,765 = −8,235 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −8,235 + (−5)·3 = −23,24 V

Collega il carico all’equivalente di Thévenin

Il generatore di Thévenin e R_th in serie si comportano esattamente come il circuito originale ai morsetti a–b, quindi il carico vede un semplice anello in serie.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −23,24/(4,765 + 20) = −0,9382 A

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Metodo

Acquisizione dati e campionamento

Metodo

Circuiti con amplificatori operazionali

Resistori in serie e parallelo

Metodo

Thévenin e Norton

Metodo

2Esercizi

3Soluzioni

Tensioni dei nodi

Uscite

Risposta

Risolvi l’equazione del quarto di ponte

In microdeformazioni

Risposta

Byte per campione

Byte al secondo

Memoria

Risposta

Tempo per canale

Tempo per scansione

Frequenza di campionamento per canale

Risposta

Tensione all’ingresso +

Guadagno non invertente

Risposta

Correnti di ingresso

Tensione di uscita

Risposta

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Corrente dal generatore

Risposta

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Risposta

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Trova Vth, la tensione a vuoto

Equivalente di Norton

Trova Rth con tutti i generatori spenti

Trova Vth, la tensione a vuoto

Collega il carico all’equivalente di Thévenin

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Trova V_th, la tensione a vuoto

Trova R_th con tutti i generatori spenti

Trova V_th, la tensione a vuoto