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1Formule e metodi
Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Tensioni dei partitori
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Uscite
Vab = Va − Vb
Bilancio
R1/R2 = R3/R4
Ponte a filo
R/Rx = l/(100 − l)
Resistenza di Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fattore di taratura
ΔR/R = GF·ε
Uscita del ponte
quarto Vs·GF·ε/4, mezzo Vs·GF·ε/2, intero Vs·GF·ε
Piccola variazione, un ramo
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensione
σ = E·ε
Metodo
Tratta il ponte come due partitori di tensione ai capi della stessa alimentazione.
Per l’equilibrio, poni R₁/R₂ = R₃/R₄ e ricava la resistenza incognita.
Per un ponte non equilibrato, ricava Va e Vb dai partitori e sottrai; usa l’equivalente di Thévenin quando uno strumento carica l’uscita.
Per gli estensimetri, converti la deformazione in ΔR/R = GF·ε e usa Vs·GF·ε/4, /2 o ×1 per un quarto, mezzo o ponte intero.
Acquisizione dati e campionamento
Criterio di Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequenza di alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Passo di quantizzazione
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Errore di quantizzazione (arrotondamento)
±½ LSB
Codice di un ADC a troncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bit per una risoluzione r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideale, sinusoide a fondo scala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Velocità dei dati
canali × fs × N bit/s
ADC multiplexato
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Divisore del baud rate
baud = fclk/(16·D)
Metodo
Scrivi i dati: frequenza di campionamento, frequenze del segnale, numero di bit, campo d’ingresso, baud rate.
Nei problemi di campionamento confronta ogni frequenza con fs/2; una frequenza più alta compare a fa = |f − k·fs|, con il multiplo di fs più vicino.
Nei problemi di risoluzione trova 1 LSB = VFSR/2ᴺ, oppure il più piccolo N con 2ᴺ ≥ campo/risoluzione.
Per velocità dei dati e collegamenti UART conta tutto ciò che viene inviato: canali, campioni al secondo, bit o byte interi per campione, e i bit di start, parità e stop di ogni frame.
Circuiti con amplificatori operazionali
Amplificatore invertente
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificatore non invertente
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificatore sommatore
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificatore operazionale ideale
V+ = V−, Iin = 0
Resistori in serie e parallelo
Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R
Metodo
Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.
Thévenin e Norton
Tensione di Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistenza di Thévenin
Rth: tutti i generatori spenti, vista da a–b
Corrente di Norton
IN = Vth/Rth
Corrente nel carico
IL = Vth/(Rth + RL)
Massimo trasferimento di potenza
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Metodo
Togli il carico e indica i due morsetti a e b.
Trova la tensione a vuoto tra a e b: questa è Vth.
Spegni tutti i generatori indipendenti e trova la resistenza vista da a–b: questa è Rth.
Ricollega il carico al circuito equivalente: Vth in serie con Rth.
Per l’equivalente di Norton, converti: IN = Vth/Rth, con RN = Rth in parallelo.
2Esercizi
1.Ponte di Wheatstone ed estensimetriMedia
Un ponte ha quattro rami da 150 Ω e Vs = 12 V. Il sensore R₂ aumenta di ΔR = 0,3 Ω. Usando l’approssimazione per piccole variazioni, trova l’uscita Vab in mV.
Vs = 12 VR = 150 ΩΔR = 0,3 Ω
Vab = mV
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetriDifficile
Un estensimetro da 120 Ω con fattore di taratura 2,1 è incollato su una barra d’acciaio. Sotto carico la sua resistenza aumenta di 0,189 Ω. Trova la deformazione ε in microdeformazioni (µε).
R = 120 ΩGF = 2,1ΔR = 0,189 Ω
ε = µε
3.Acquisizione dati e campionamentoMedia
Un registratore campiona un canale a 10 kHz con un ADC a 12 bit. Ogni campione è memorizzato in byte interi. Trova la memoria M necessaria per una registrazione di 60 min, in MB (1 MB = 10⁶ byte).
n = 1fs = 10 kHzN = 12t = 60 min
M = MB
4.Acquisizione dati e campionamentoDifficile
Un microcontrollore con clock a 16 MHz imposta il baud rate della UART come fclk/(16·D), con D un numero intero arrotondato al valore più vicino. Il valore desiderato è 115200 baud. Trova l’errore percentuale del baud rate reale (positivo se è troppo veloce).
fclk = 16 MHzvalore desiderato = 115200 Bd
e = %
5.Circuiti con amplificatori operazionaliMedia
Scegli il resistore di retroazione Rf che dà a questo amplificatore non invertente un guadagno di tensione di 4.
R1 = 2 kΩAv = 4
Rf = kΩ
6.Circuiti con amplificatori operazionaliDifficile
L’amplificatore operazionale è ideale ed è alimentato a ±15 V. I rapporti tra i resistori non sono bilanciati. Trova la tensione d’uscita Vout.
Trova la tensione di Thévenin Vth vista dai morsetti a–b.
V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
10.Thévenin e NortonDifficile
Trova la corrente di Norton IN: la corrente che scorre da a a b se i morsetti sono cortocircuitati.
V1 = 10 VIs = 1 AR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
3Soluzioni
1.Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Risposta: Vab = 6 mV
Ponte di Wheatstone: due partitori di tensione condividono un’unica alimentazione Vs. Il partitore sinistro R1–R2 dà Va = Vs·R2/(R1 + R2) e il partitore destro R3–R4 dà Vb = Vs·R4/(R3 + R4); l’uscita è Vab = Va − Vb. Il ponte è in equilibrio (Vab = 0, nessuna corrente nello strumento) quando R1/R2 = R3/R4, cioè R1·R4 = R2·R3. Visto dall’uscita, il ponte è un generatore di Thévenin con Rth = R1∥R2 + R3∥R4.
Variazione relativa
ΔR/R = 0,3/150 = 0,002
Uscita linearizzata
Vab ≈ 12·0,002/4 = 6 mV
Risposta
Vab = 6 mV
Il valore esatto è 5,994 mV; l’approssimazione è buona finché ΔR/R è piccolo.
2.Ponte di Wheatstone ed estensimetri
Risposta: ε = 750 µε
Estensimetri: un estensimetro cambia la sua resistenza con la deformazione: ΔR/R = GF·ε, dove il fattore di taratura GF vale circa 2 per un estensimetro a lamina metallica. In un ponte con tutti i rami uguali a R, un estensimetro attivo (quarto di ponte) dà Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Due estensimetri attivi con deformazioni opposte in rami adiacenti (mezzo ponte) danno Vs·GF·ε/2, e quattro (ponte intero) danno Vs·GF·ε. La tensione meccanica segue dalla legge di Hooke, σ = E·ε. Le celle di carico indicano la loro sensibilità in mV/V: l’uscita a pieno carico per ogni volt di eccitazione.
Variazione relativa di resistenza
ΔR/R = 0,189/120 = 0,001575
Deformazione
ε = 0,001575/2,1 = 0,00075 = 750 µε
Risposta
ε = 750 µε
3.Acquisizione dati e campionamento
Risposta: M = 72 MB
Velocità dei dati: ogni canale fornisce fs campioni al secondo da N bit, quindi la velocità grezza è canali × fs × N bit/s. In memoria un campione occupa byte interi (un campione a 12 bit è memorizzato in 2 byte), quindi la memoria per una registrazione è canali × fs × byte per campione × tempo. Un ADC multiplexato converte i canali uno dopo l’altro: ogni conversione (con assestamento) richiede t, quindi un giro di n canali richiede n·t e ogni canale è campionato a 1/(n·t).
Byte per campione
⌈12/8⌉ = 2 B
Byte al secondo
1·10000·2 = 20000 B/s
Memoria
M = 20000·3600 = 7,2 × 10⁷ B = 72 MB
Risposta
M = 72 MB
4.Acquisizione dati e campionamento
Risposta: e = −3,549 %
UART: un collegamento seriale asincrono invia ogni byte come un frame: un bit di start (basso), i bit di dati, un bit di parità facoltativo e uno o due bit di stop (alti). Il baud rate è il numero di bit al secondo, quindi un bit dura Tb = 1/baud e un frame di n bit dura n/baud. Il comune formato 8N1 ha 10 bit per byte. Il generatore di baud divide il clock: baud = fclk/(16·D) con un numero intero D, quindi il baud rate reale differisce leggermente da quello desiderato; un errore sotto circa il 2 % di solito è accettabile.
Divisore
D = 16·10⁶/(16·115200) = 8,681 → 9
Baud rate reale
16·10⁶/(16·9) = 111111 Bd
Errore
(111111 − 115200)/115200·100 = −3,549 %
Risposta
e = −3,549 %
Un errore sopra circa il 2 % rende il collegamento inaffidabile: scegli un altro clock o un altro baud rate.
5.Circuiti con amplificatori operazionali
Risposta: Rf = 6 kΩ
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
Guadagno di un amplificatore non invertente
V₋ = V₊ = Vin, e la corrente in R₁ scorre anche in Rf, quindi Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (4 − 1)·2 = 6 kΩ
Risposta
Rf = 6 kΩ
6.Circuiti con amplificatori operazionali
Risposta: Vout = 0,2531 V
Regole dell’amplificatore operazionale ideale: con retroazione negativa, l’amplificatore porta la sua uscita al valore per cui i due ingressi sono alla stessa tensione (V₋ = V₊), e nessuna corrente entra negli ingressi. Scrivendo la LKC all’ingresso invertente con questi due fatti si ottiene l’uscita.
Tensione all’ingresso +
V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,6·2/(47 + 2) = 0,06531 V
Sovrapponi i due ingressi
Con V₂ = 0, V₁ vede un amplificatore invertente. Con V₁ = 0, V₊ viene amplificata dal guadagno non invertente 1 + R₂/R₁.
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 3·25/(3+25) = 2,679 Ω
Req = R1 + 2,679 = 10 + 2,679 = 12,68 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 9/12,68 = 0,7099 A
Risposta
IR1 = 0,7099 A
8.Resistori in serie e parallelo
Risposta: IR2 = 0,08119 A
Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.
Combina i resistori partendo dall’estremo lontano
Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.
R5 + R6 = 2 + 10 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 3,529 Ω
R3 + 3,529 = 18,53 Ω
R2 ∥ 18,53 = 9,618 Ω
Req = R1 + 9,618 = 20 + 9,618 = 29,62 Ω
Corrente dal generatore
Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.
IR1 = V1/Req = 5/29,62 = 0,1688 A
Corrente in R₂
Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,1688·20 = 1,624 V
IR2 = VA/R2 = 1,624/20 = 0,08119 A
Risposta
IR2 = 0,08119 A
9.Thévenin e Norton
Risposta: Vth = 8 V
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Trova Rth con tutti i generatori spenti
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 4 = 6,4 Ω
Trova Vth, la tensione a vuoto
Con a–b aperti, in R₃ non scorre corrente, quindi non c’è caduta su di essa e V_b = V_A. R₁ e R₂ formano un partitore di tensione.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·12/(3+12) = 8 V
10.Thévenin e Norton
Risposta: IN = 1,364 A
Teorema di Thévenin: ogni rete lineare a due morsetti si comporta come un unico generatore di tensione Vth in serie con una resistenza Rth. Il teorema di Norton dà la stessa rete come generatore di corrente IN = Vth/Rth in parallelo con Rth.
Trova Rth con tutti i generatori spenti
Sostituisci i generatori di tensione con cortocircuiti e quelli di corrente con circuiti aperti, poi guarda il circuito da a–b.
R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 10 = 12,22 Ω
Trova Vth, la tensione a vuoto
Con a–b aperti, l’unico percorso per Iₛ è attraverso R₃ nel nodo A. Trova V_A per sovrapposizione di V₁ e Iₛ, poi aggiungi la caduta su R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,444 + 1·2,222 = 6,667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6,667 + 1·10 = 16,67 V
Equivalente di Norton
Un generatore di Norton è lo stesso circuito visto come un generatore di corrente in parallelo con R_th. La sua corrente è la corrente di cortocircuito tra a–b.