Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) e un tratto di rame (diametro 40 mm, lunghezza 300 mm, E = 120 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 80 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 100 kW a 1500 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,5 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 6 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 12 kN/m da 0 a 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2,5 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente positivo massimo M_max tra gli appoggi.

L = 7,5 mw = 4 kN/m da 0 a 7,5 mappoggi in x = 0 e x = 5 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 110 mm e spesse 16 mm, un’altezza complessiva di 280 mm e un’anima spessa 6 mm. Porta un momento flettente di 60 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 110 mmH = 280 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 125 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 125 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 50 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 50 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 101,9 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/490,9 = 20,37 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 20,37/200000 = 0,0001019 = 101,9 µε

Risposta

ε = 101,9 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 50,93 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 80000·502655/628319 = 64000 N

Tensione

σ₂ = 64000/1257 = 50,93 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 50,93 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,7183 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Risposta

φ = 0,7183°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 41,05 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·50·0,9375)) = 41,05 mm

d_i = 0,5·41,05 = 20,52 mm

Risposta

d_o = 41,05 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 40,18 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 72 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Taglia in x = 6 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 48·6 − 12·6·3 = 72 kN·m

Risposta

M_x = 72 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 7,031 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, applicata in x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·7,5·3,75

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Taglio nullo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7,5/4 = 1,875 m

Momento positivo massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7,5²/(2·4) = 7,031 kN·m

Risposta

M_max = 7,031 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 3,821 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

anima: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·115 + 800·50)/5000 = 104,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·30³/12 + 4200·(115 − 104,6)² = 769272 mm⁴

anima: 8·100³/12 + 800·(50 − 104,6)² = 3,052 × 10⁶ mm⁴

I_x = 769272 + 3,052 × 10⁶ = 3,821 × 10⁶ mm⁴ = 3,821 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 3,821 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 107,8 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 280 − 2·16 = 248 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·280³ − 104·248³)/12

I_x = 6,903 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

y = 140 − 16 = 124 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·124/6,903 × 10⁷ = 107,8 MPa

Risposta

σ_j = 107,8 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −16,85 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 160 − 40) = −33,69°

Angolo sull’elemento

θ_p = −16,85°

Risposta

θ_p = −16,85°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −1,962 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 60 + −20·0,5 + −60·0,866 = −1,962 MPa

Risposta

σ_θ = −1,962 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 3,596 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 3,596 mm

Risposta

δ_max = 3,596 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 185,6 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·16,67) = 6,658 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·6,658 × 10⁷/125)^1/3 = 185,6 mm

Risposta

h_req = 185,6 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,312 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Risposta

P_cr = 3,312 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 90,15 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 90,15 mm

Risposta

d = 90,15 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 355, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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