Scienza delle costruzioni: esercizi e domande d’esame

Detta anche meccanica o resistenza dei materiali: tensioni, deformazioni e spostamenti di aste, alberi, travi e pilastri. Gli esercizi d’esame combinano un passaggio di statica (le azioni interne) con uno di resistenza (tensione o freccia), quindi un errore nel primo passaggio si trascina.

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Argomenti di questo corso

  1. Tensione e deformazione assialetensione normale · deformazione e allungamento · barra a gradinicalcoli
  2. Torsione degli alberitensione tangenziale · angolo di torsione · trasmissione di potenzacalcoli
  3. Taglio e momento flettentecarico concentrato · carico distribuito su tutta la luce · carico concentrato + distribuitocalcoli
  4. Baricentro e momento d’inerziabaricentro · momento d’inerzia · tensione di flessionecalcoli
  5. Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensionitensioni principali · tensione tangenziale massima e direzione principale · tensione su un piano inclinatocalcoli
  6. Freccia della travemensola, carico all’estremo · carico uniforme · sovrapposizione e progettocalcoli
  7. Instabilità delle colonneestremi incernierati · altre condizioni di vincolo · progetto e tensione criticacalcoli

Consigli per l’esame di Scienza delle costruzioni

  • Usa unità coerenti: newton e millimetri danno direttamente le tensioni in MPa.
  • Nella torsione, usa il raggio, non il diametro, in τ = T·r/J.
  • Per l’instabilità a carico di punta, controlla i vincoli alle estremità: la lunghezza libera di inflessione può cambiare il carico critico di un fattore 16.

Esempi svolti

Tensione e deformazione assialeFacile
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 100 mm, diametro interno 50 mm, E = 120 GPa). Entrambi sono lunghi 500 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 300 kN. Trova la tensione di compressione σr nell’asta.

P = 300 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Calcola σr (MPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Piastre rigide: asta e tubo si accorciano della stessa quantità, quindi ε è la stessa in entrambi.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Deformazione comune

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Tensione nell’asta

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Risposta

σr = 70,74 MPa
Torsione degli alberiMedia
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

Calcola φ (°)

Mostra i suggerimenti
  1. Usa φ = TL/(GJ), che dà radianti.
  2. Usa N e mm ovunque: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Risposta

φ = 6,576°

Come funziona l’esercitazione

  • “Esercitati su questo corso” mescola esercizi di tutti i suoi argomenti, come in un vero esame.
  • Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
  • Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
  • Le simulazioni d’esame sono a tempo e senza suggerimenti; alla fine ricevi il punteggio e una revisione completa.

Calcolatrici per questo corso

Calcolatrice della freccia di una traveCalcolatore dei diagrammi del taglio e del momento flettenteCalcolatrice della torsione di un alberoCalcolatrice di tensione e deformazione assialeCalcolatrice dell’instabilità eulerianaCalcolatrice del cerchio di MohrCalcolatore del momento d’inerzia (momento d’inerzia di area)Calcolatore della tensione di flessione (σ = My/I)Calcolatore della dilatazione termicaCalcolatore del baricentro (forme composte e poligoni)

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