Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 100 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 60 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 250 N·m agisce in B, a 2 m da A, e un momento torcente di 200 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 1,2 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 2 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 15 kN in 3 mw = 6 kN/m da 0 a 3 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 35 kN in 4 mw = 6 kN/m da 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 100 mm e spesse 20 mm, un’altezza complessiva di 240 mm e un’anima spessa 14 mm. Porta un momento flettente di 100 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione massima σ_max nella sezione.

B = 100 mmH = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 600 mm e spessore di parete di 15 mm contiene gas a una pressione relativa di 2,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 60° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 600 mmt = 15 mmp = 2,5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 18 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 50 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 50 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 17280 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 95·1000/78,54 = 1210 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1210/70000 = 0,01728 = 17280 µε

Risposta

ε = 17280 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 884,2 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 884,2 MPa

Risposta

σ_max = 884,2 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 22,99 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Risposta

φ = 22,99°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 10,61 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 250 = 450 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 450 N·m

τ_max = 16·450000/(π·60³) = 10,61 MPa

Risposta

τ_max = 10,61 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −56,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −15·2,5 = −37,5 kN·m

w: −6·2,5²/2 = −18,75 kN·m

M_x = −37,5 − 18,75 = −56,25 kN·m

Risposta

M_x = −56,25 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 118 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 6·8·4

R_B = 332/8 = 41,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 41,5 = 41,5 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 41,5·4 − 6·4·2 = 118 kN·m

Risposta

M_x = 118 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 25,73 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

anima: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·207,5 + 2400·100)/6600 = 168,4 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·15³/12 + 4200·(207,5 − 168,4)² = 6,497 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·200³/12 + 2400·(100 − 168,4)² = 1,923 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,497 × 10⁶ + 1,923 × 10⁷ = 2,573 × 10⁷ mm⁴ = 25,73 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 25,73 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_max = 207,4 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 240 − 2·20 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·240³ − 86·200³)/12

I_x = 5,787 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

y = 120 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·120/5,787 × 10⁷ = 207,4 MPa

Risposta

σ_max = 207,4 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 84,85 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((110 − −10)/2)² + 60²) = 84,85 MPa

Risposta

τ_max = 84,85 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 31,25 MPa

Tensioni nella parete

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2,5·300/15 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 25·sin²60° + 50·cos²60° = 31,25 MPa

Risposta

σ_n = 31,25 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 19,55 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·2000³/(3·3,99 × 10¹²) = 12,03 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 7,519 mm

Sommale

δ = 12,03 + 7,519 = 19,55 mm

Risposta

δ = 19,55 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 176,3 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 2,284 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·2,284 × 10⁷/50)^1/3 = 176,3 mm

Risposta

h_req = 176,3 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,205 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·6000 = 12000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4,205 kN

Risposta

P_cr = 4,205 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 27,76 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Risposta

σ_cr = 27,76 MPa

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