Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 100 mm, diametro interno 60 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 50 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 50 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 105 kNtratto 1: Ø25 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 100 kW a 500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 8 kN/m da 0 a 4 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 55 kN in 1 mw = 4 kN/m da 0 a 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 40 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 10 MPa e σᵧ = 70 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 125 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 8 kNa = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,05305 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7,54 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 50000·800/7,54 × 10⁸ = 0,05305 mm

Risposta

δ = 0,05305 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 4,526 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 213,9·1000/100000 = 2,139 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334,2·500/70000 = 2,387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,526 mm

Risposta

δ = 4,526 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,077 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·613592) = 0,0188 rad

φ = 0,0188·180/π = 1,077°

Risposta

φ = 1,077°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 26,49 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·37,5/2,704 × 10⁶ = 26,49 MPa

Risposta

τ_max = 26,49 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −12 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 16 − 8·3,5 = −12 kN

Risposta

V_x = −12 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 10 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 4·5·2,5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 21 = 54 kN

Taglia in x = 4,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 54·4,5 − 55·(4,5 − 1) − 4·4,5·2,25 = 10 kN·m

Risposta

M_x = 10 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 6,914 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

anima: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·147,5 + 1120·70)/4420 = 127,9 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·15³/12 + 3300·(147,5 − 127,9)² = 1,335 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·140³/12 + 1120·(70 − 127,9)² = 5,579 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,335 × 10⁶ + 5,579 × 10⁶ = 6,914 × 10⁶ mm⁴ = 6,914 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 6,914 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 6,332 kN·m

Baricentro

ȳ = (2100·267,5 + 2080·130)/4180 = 199,1 mm

bordo superiore: c = 275 − 199,1 = 75,92 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 140·15³/12 + 2100·68,42² + 8·260³/12 + 2080·69,08² = 3,151 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 90·3,151 × 10⁷/75,92 = 37,36 kN·m

bordo inferiore: M = 40·3,151 × 10⁷/199,1 = 6,332 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 6,332 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 6,332 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 79,53 MPa

Raggio richiesto

C = (10 + 70)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 40 = 85 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79,53 MPa

Risposta

τ_xy = 79,53 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 112,7 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 50 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 108,3 MPa, σ₂ = −8,31 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(108,3² − 108,3·(−8,31) + (−8,31)²) = 112,7 MPa

Risposta

σ_vM = 112,7 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 75,02 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, a = 2500 mm, b = 5500 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·2500²·5500²/(3·8,4 × 10¹¹·8000) = 75,02 mm

Risposta

δ_P = 75,02 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,939 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 0,5167 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,422 mm

Sommale

δ_max = 0,5167 + 2,422 = 2,939 mm

Risposta

δ_max = 2,939 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 22,85 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN

Risposta

P_cr = 22,85 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 15,67 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Risposta

σ_cr = 15,67 MPa

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