Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 20 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 75 kW a 750 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 3 m5 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce e un carico concentrato P. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 5 mP = 50 kN in 3 mw = 10 kN/m da 0 a 5 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione rettangolare cava (scatolare) ha larghezza esterna B = 180 mm, altezza esterna H = 350 mm e spessore di parete uniforme t = 8 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

B = 180 mmH = 350 mmt = 8 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 150 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo M_allow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso orario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1132 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/100000 = 0,001132 = 1132 µε

Risposta

ε = 1132 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 63,66 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,92 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 63,66 MPa

Risposta

σ_max = 63,66 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 22,45 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·15708) = 0,3918 rad

φ = 0,3918·180/π = 22,45°

Risposta

φ = 22,45°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 39,32 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Risposta

d = 39,32 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 35,83 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 58,33, M_D = 85 kN·m, M_E = 61,67, M_F = 33,33, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 85 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 90 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 10·5·2,5

R_B = 275/5 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 55 = 45 kN

Dove è V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 15 kN

V(3⁺) = 15 − 50 = −35 kN

Il taglio cambia segno in corrispondenza del carico, quindi il massimo è sotto il carico.

Momento massimo

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 45·3 − 10·3²/2 = 90 kN·m

Risposta

M_max = 90 kN·m

Si trova in x = 3 m da A.

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 127,6 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

b = 164 mm, h = 334 mm

A = BH − bh = 180·350 − 164·334 = 8224 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,339 × 10⁸ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(1,339 × 10⁸/8224) = 127,6 mm

Risposta

r = 127,6 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 27,93 kN·m

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Baricentro

ȳ = (5400·275 + 2080·130)/7480 = 234,7 mm

bordo superiore: c = 290 − 234,7 = 55,32 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 180·30³/12 + 5400·40,32² + 8·260³/12 + 2080·104,7² = 4,369 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento negativo: la parte superiore è tesa, quella inferiore compressa.

bordo superiore: M = 60·4,369 × 10⁷/55,32 = 47,39 kN·m

bordo inferiore: M = 150·4,369 × 10⁷/234,7 = 27,93 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 27,93 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 27,93 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 88,46 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 120)/2)² + 60²) = 88,46 MPa

Risposta

τ_max = 88,46 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −30 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−30·−1 + −10·0 = −30 MPa

Risposta

τ_θ = −30 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,00282 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,00282 rad

Risposta

θ_A = 0,00282 rad

Cioè 0,1615°.

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 34,97 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2100² = 34969 N = 34,97 kN

Risposta

P_cr = 34,97 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 21,93 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Risposta

σ_cr = 21,93 MPa

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