Instabilità delle colonne: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: carico critico euleriano · instabilità euleriana · carico di punta

Esercizi gratuiti su Instabilità delle colonne con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: estremi incernierati, altre condizioni di vincolo, progetto e tensione critica.

Esercizio gratuitoFacile
PL = 2,5 m40 × 80 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 80 mm
kN
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Su cosa ti eserciti

  1. Facileestremi incernierati
  2. Mediaaltre condizioni di vincolo
  3. Difficileprogetto e tensione critica

Formule chiave

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

Impara Instabilità delle colonne da zero

Prima di questo: Baricentro e momento d’inerzia

1Che cos’è l’instabilità (carico di punta)

Premi sulle due estremità di un righello di plastica. All’inizio sembra che non succeda nulla. Poi, all’improvviso, si incurva di lato. Questa è l’instabilità per carico di punta (buckling).

Una colonna (asta compressa) è un elemento caricato a compressione lungo la sua lunghezza: un pilastro di un edificio, un puntone di un tetto, uno stelo di pistone.

PL

Una colonna corta e tozza si rompe per schiacciamento: la tensione P/A raggiunge la resistenza del materiale. Una colonna lunga e snella si instabilizza a un carico molto più basso, mentre la tensione è ancora ben al di sotto di quella resistenza.

Il carico al quale una colonna snella si instabilizza è il suo carico critico Pcr. Oltre di esso la colonna è instabile e cede.

Autoverifica Due colonne di acciaio hanno la stessa sezione. Una è lunga 2 m, l’altra 4 m. Quale si instabilizza al carico più basso?
  1. Entrambe allo stesso carico
  2. La colonna da 2 m
  3. La colonna da 4 m
  4. Nessuna: le colonne di acciaio non possono instabilizzarsi

Risposta: La colonna da 4 m. Una colonna più lunga è più snella e si instabilizza più facilmente. La lunghezza è il fattore più importante nell’instabilità.

2Formula di Eulero

Leonhard Euler trovò il carico critico di una colonna snella:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E è il modulo di Young del materiale: 200 GPa per l’acciaio.
  • I è il momento d’inerzia (momento di inerzia della sezione) della sezione trasversale. Usa quello minimo: la colonna si flette nel modo più facile.
  • L è la lunghezza, e K è il fattore di lunghezza efficace, che dipende da come sono vincolate le estremità.
K = 1K = 2K = 0,7K = 0,5

Un’estremità incernierata può ruotare; un’estremità incastrata no. Vincolare le estremità più saldamente dà una lunghezza efficace KL più corta e un Pcr molto più alto, perché KL è al quadrato.

Per una barra circolare I = π·d⁴/64. Per un rettangolo b × h con b il lato minore, Imin = h·b³/12.

Autoverifica Una colonna incernierata–incernierata ha Pcr = 100 kN. La stessa colonna è resa incastrata alla base e libera in testa (K = 2). Quanto vale ora Pcr?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

Risposta: 25 kN. Pcr è diviso per K² = 4: 100/4 = 25 kN. 50 kN dimentica di elevare K al quadrato; 200 e 400 kN moltiplicano invece di dividere.

3Snellezza e tensione critica

Dividendo Pcr per l’area si ottiene la tensione critica. Si scrive nel modo più ordinato con il raggio d’inerzia r e la snellezza λ (lambda):

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

Per una barra piena circolare, r = d/4.

La formula di Euler vale solo finché σcr resta sotto la tensione di snervamento del materiale. Per l’acciaio da costruzione ciò significa una snellezza di circa λ > 100. Le colonne più tozze cedono per snervamento o per una combinazione dei due modi, e richiedono altre regole di progetto.

Autoverifica La sezione di una colonna rettangolare è 20 mm × 40 mm. Qual è il momento d’inerzia minimo?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

Risposta: 26 667 mm⁴. L’asse debole eleva al cubo il lato minore: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴. 106 667 è l’asse forte; 320 000 dimentica il /12; 7854 usa la formula del cerchio.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Leggi le condizioni di vincolo e scegli K: 1, 2, 0,7 o 0,5.
  2. Trova il minimo I della sezione, in mm⁴.
  3. Converti in N e mm: L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000).
  4. Lunghezza efficace: KL.
  5. Carico critico: Pcr = π²EI/(KL)², in N. Dividi per 1000 per ottenere kN.
  6. Se richiesto, controlla la snellezza KL/r o la tensione critica Pcr/A.

Per una domanda di progetto con coefficiente di sicurezza n, la colonna deve avere Pcr = n·P. Risolvi la formula di Euler per I, poi per il diametro.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una colonna d’acciaio piena e circolare (E = 200 GPa) di diametro 40 mm e lunghezza 2 m è incernierata a entrambe le estremità. Trova il suo carico critico Pcr. Poi trovalo di nuovo per la stessa colonna incastrata alla base e libera in testa.

1

Osserva la colonna

PL = 2 m

Incernierata a entrambe le estremità, quindi K = 1 e KL = 2000 mm. E = 200 000 N/mm².

2

Momento d’inerzia della sezione

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

Carico critico

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62,0 kN
4

Verifica che Euler sia applicabile

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49,3 MPa

Questo è ben al di sotto della tensione di snervamento dell’acciaio (circa 250 MPa), quindi la colonna è snella e la formula di Euler è valida.

5

Base incastrata, testa libera

Ora K = 2, quindi la lunghezza efficace raddoppia a 4000 mm e Pcr scende di un fattore 2² = 4:

Pcr = 62,0 / 4 = 15,5 kN
Risposta

Pcr = 62,0 kN con entrambe le estremità incernierate, e 15,5 kN con base incastrata e testa libera.

6Errori comuni

  • Scegliere il K sbagliato, o dimenticare di elevarlo al quadrato.
  • Usare l’I maggiore di un rettangolo. Una colonna si instabilizza sempre attorno al suo asse debole.
  • Mescolare le unità: L in metri con E in N/mm². Lavora sempre in N e mm.
  • Usare π·d⁴/32 (il momento d’inerzia polare J della torsione) invece di π·d⁴/64.
  • Applicare Euler a una colonna corta e tozza la cui tensione critica sarebbe sopra la tensione di snervamento.
Autoverifica Una colonna incernierata a entrambe le estremità ha Pcr = 40 kN. La stessa colonna è incastrata a entrambe le estremità (K = 0,5). Quanto vale Pcr?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

Risposta: 160 kN. Pcr è diviso per K² = 0,25, quindi diventa quattro volte più grande: 160 kN. 80 kN dimentica di elevare K al quadrato; 10 kN moltiplica per K² invece di dividere.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: estremità incernierate. Trova Pcr di una colonna circolare o rettangolare in acciaio o alluminio.
  • Medio: altre condizioni di vincolo. La stessa domanda con K = 2, 0,7 o 0,5.
  • Difficile: progetto e tensione critica. Trova il diametro minimo che sopporta un carico con un coefficiente di sicurezza, oppure trova la snellezza e σcr.

Per il caso di progetto con una barra circolare: d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
PL = 5 md = 50 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

Calcola Pcr (kN)

Mostra i suggerimenti
  1. Eulero: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 per una colonna incernierata a entrambi gli estremi.
  3. I = 306796 mm⁴.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8,478 kN

Risposta

Pcr = 8,478 kN
Esempio 2Media
PL = 2,5 md = 30 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

Calcola Pcr (kN)

Mostra i suggerimenti
  1. Eulero: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. Coefficiente di lunghezza libera: K = 2 per una colonna incastrata alla base e libera in cima.
  3. I = 39761 mm⁴.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Risposta

Pcr = 3,139 kN
Esempio 3Difficile
PL = 2,5 md = 25 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σcr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 25 mm

Calcola σcr (MPa)

Mostra i suggerimenti
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², con r = √(I/A) il raggio d’inerzia.
  2. Usa l’I minore, perché la colonna sbanda attorno al suo asse più debole.
  3. r = 6,25 mm.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Tensione critica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Risposta

σcr = 4,318 MPa

Domande e risposte

Instabilità delle colonne: di cosa si tratta?

Premi sulle due estremità di un righello di plastica. All’inizio sembra che non succeda nulla. Poi, all’improvviso, si incurva di lato. Questa è l’instabilità per carico di punta (buckling).

Una colonna (asta compressa) è un elemento caricato a compressione lungo la sua lunghezza: un pilastro di un edificio, un puntone di un tetto, uno stelo di pistone.

Instabilità delle colonne: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Instabilità delle colonne: che cosa si esercita?
  • Facile: estremi incernierati
  • Media: altre condizioni di vincolo
  • Difficile: progetto e tensione critica

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