Baricentro e momento d’inerzia: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: momento d’inerzia · teorema di Huygens-Steiner · geometria delle masse
Esercizi gratuiti su Baricentro e momento d’inerzia con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: baricentro, momento d’inerzia, tensione di flessione.
Esercizio gratuitoFacile
Trova l’altezza ȳ del baricentro della sezione a T sopra il suo bordo inferiore.
Taglia una trave di netto e guarda la faccia del taglio. Quella forma è la sezione trasversale, o semplicemente la sezione.
Prendi un’asse di legno di 100 × 20 mm. Appoggiala piatta su un vuoto e si inflette molto. Mettila in piedi sul bordo e sarà molto più rigida, anche se ha esattamente la stessa area.
Conta quanto il materiale sta lontano dall’asse attorno a cui la trave si flette. Il materiale lontano da quell’asse lavora molto di più.
Due proprietà descrivono questo fatto. Il baricentro è il centro geometrico della sezione: la trave si flette attorno a un asse che lo attraversa. Il momento d’inerzia I misura quanto l’area è distribuita lontano da quell’asse.
Autoverifica La stessa asse è usata piatta (a) e sul bordo (b), flessa attorno a un asse orizzontale. Quale è più rigida?
Dipende solo dal materiale
Piatta (a)
Sono uguali, perché l’area è la stessa
Sul bordo (b)
Risposta: Sul bordo (b). Sul bordo, il materiale sta più lontano dall’asse di flessione. L’area è la stessa, ma conta la sua distanza dall’asse.
2Il baricentro di una sezione composta
Per un rettangolo, il baricentro sta al centro. Molte sezioni di travi, come una T, sono formate da rettangoli.
Dividi la sezione in rettangoli. Per ciascuno, trova la sua area Ai e l’altezza yi del suo baricentro, misurata da una linea di riferimento, di solito il bordo inferiore.
Il baricentro dell’intera sezione è la media di quelle altezze pesata con le aree:
ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai
Una parte grande attira il baricentro verso di sé. In una sezione a T con l’ala in alto, il baricentro sta sopra la metà dell’altezza.
Autoverifica La parte 1 ha A = 3000 mm² a y = 20 mm. La parte 2 ha A = 1000 mm² a y = 100 mm. Dov’è il baricentro?
ȳ = 160 mm
ȳ = 40 mm
ȳ = 60 mm
ȳ = 80 mm
Risposta: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm. 60 mm è la semplice media delle altezze, che ignora le aree. 80 mm scambia le aree.
3Il momento d’inerzia
Per un rettangolo di larghezza b e altezza h, flesso attorno a un asse orizzontale passante per il suo baricentro:
Ic = b · h³ / 12
L’altezza è elevata al cubo, ed è per questo che l’asse sul bordo è 25 volte più rigida: 20·100³ / (100·20³) = 25.
Per una sezione composta, ogni parte sta a una certa distanza d dall’asse passante per il baricentro complessivo. Il teorema degli assi paralleli (di Huygens–Steiner) aggiunge un termine per quello spostamento:
I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )
L’unità è mm⁴. I numeri diventano grandi, quindi le risposte sono spesso date come “× 10⁶ mm⁴”.
Una volta ottenuto I, la tensione di flessione a una distanza y dall’asse baricentrico segue dal momento flettente M:
σ = M · y / I
Autoverifica Un rettangolo largo 100 mm e alto 20 mm: quanto vale I rispetto al suo asse baricentrico orizzontale?
1 666 667 mm⁴
400 000 mm⁴
66 667 mm⁴
800 000 mm⁴
Risposta: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴. 1 666 667 scambia b e h (è l’asse sul bordo); 800 000 dimentica di dividere per 12.
4Il metodo passo dopo passo
Dividi la sezione in rettangoli e numerali.
Per ogni parte: area Ai e altezza del baricentro yi, tutte misurate dal bordo inferiore.
Baricentro: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
Per ogni parte: Ic proprio = bh³/12 e distanza di = yi − ȳ.
Somma: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
Se è richiesta una tensione: σ = M·y/I, con y la distanza dall’asse al bordo che ti serve.
Una piccola tabella con le colonne A, y, A·y, Ic, d e A·d² mantiene tutto in ordine.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Una sezione a T ha un’ala di 100 × 20 mm sopra un’anima di 20 × 100 mm. Trova l’altezza del baricentro ȳ, il momento d’inerzia Ix e le tensioni di flessione ai bordi superiore e inferiore per un momento positivo (che inflette verso il basso) di 4 kN·m.
1
Dividi in due rettangoli
Ala (1): A1 = 100·20 = 2000 mm², baricentro a y1 = 100 + 10 = 110 mm.
Anima (2): A2 = 20·100 = 2000 mm², baricentro a y2 = 50 mm.
2
Baricentro
ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm
Le due aree sono uguali, quindi ȳ sta a metà tra 110 e 50 mm.
3
Momenti d’inerzia propri
Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4
Termini degli assi paralleli
Ogni baricentro sta a 30 mm dall’asse x: d1 = 110 − 80 = 30 mm e d2 = 50 − 80 = −30 mm.
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. Il bordo inferiore è a 80 mm dall’asse, il bordo superiore a 120 − 80 = 40 mm.
σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa
Il bordo inferiore è in trazione e quello superiore in compressione, come in ogni trave che si inflette verso il basso.
Risposta
ȳ = 80 mm, Ix = 5,33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa e σtop = 30 MPa.
6Errori comuni
Dimenticare il termine A·d². Senza di esso si sommano solo gli I propri delle parti, che è molto troppo piccolo.
Misurare le altezze yi da linee di riferimento diverse. Scegli il bordo inferiore e attieniti a quello.
Usare d dal bordo inferiore invece che dal baricentro complessivo.
Scambiare b e h in bh³/12. La dimensione ortogonale all’asse di flessione va elevata al cubo.
Usare la distanza di bordo sbagliata in σ = M·y/I. Il bordo più lontano dall’asse ha la tensione maggiore.
Autoverifica Un rettangolo di 100 × 20 mm (larghezza × altezza) ha il baricentro a 50 mm da un asse x. Qual è il suo contributo a Ix?
0,067 × 10⁶ mm⁴
5,00 × 10⁶ mm⁴
5,07 × 10⁶ mm⁴
6,67 × 10⁶ mm⁴
Risposta: 5,07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴. 0,067 × 10⁶ dimentica A·d²; 5,00 × 10⁶ dimentica il termine proprio; 6,67 × 10⁶ usa 1 666 667 (b e h scambiati) più A·d².
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: baricentro. Trova ȳ di una sezione a T sopra il suo bordo inferiore. Varianti: una sezione ad angolo, oppure I di un singolo rettangolo, cerchio (πd⁴/64) o sezione scatolare.
Medio: momento d’inerzia. Trova Ix della sezione a T rispetto al suo asse baricentrico. Varianti: sezioni a I, profili a C e il raggio di inerzia r = √(I/A).
Difficile: tensione di flessione. La sezione a T porta un momento M; trova la tensione al bordo superiore o inferiore con σ = M·y/I.
Le dimensioni date sono bf e tf per l’ala, e tw e hw per l’anima.
Trova l’altezza ȳ del baricentro della sezione a T sopra il suo bordo inferiore.
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Calcola ȳ(mm)
Mostra i suggerimenti
Dividi la T in un’ala e un’anima, e trova l’area e l’altezza del baricentro di ciascuna.
ȳ = ΣA·y / ΣA, con ogni y misurata dal bordo inferiore.
Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Dividi in due rettangoli
Misura ogni y dal bordo inferiore.
ala: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
Una piastra di 100 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 156 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 156 mm
Calcola Ix(× 10⁶ mm⁴)
Mostra i suggerimenti
Trova prima il baricentro: la piastra meno il foro.
ȳ = 118,9 mm.
Poi I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) rispetto a ȳ.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (24000·120 − 706,9·156)/(24000 − 706,9) = 118,9 mm
Piastra piena rispetto a ȳ
100·240³/12 + 24000·1,092² = 115,2 × 10⁶ mm⁴
Foro rispetto a ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·37,09² = 1,012 × 10⁶ mm⁴
Sottrai
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Risposta
Ix = 114,2 × 10⁶ mm⁴
Esempio 3Difficile
Una piastra di 100 mm × 200 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 120 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.
b = 100 mmh = 200 mmintaglio: 30 × 20 mmcentro del foro: y = 120 mm
Calcola Ix(× 10⁶ mm⁴)
Mostra i suggerimenti
Trova prima il baricentro: la piastra meno il foro.
ȳ = 99,38 mm.
Poi I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) rispetto a ȳ.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha Ic = bh³/12 e un cerchio Ic = πd⁴/64.
Baricentro
ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99,38 mm
Piastra piena rispetto a ȳ
100·200³/12 + 20000·0,6186² = 66,67 × 10⁶ mm⁴
Foro rispetto a ȳ
30·20³/12 + 600·20,62² = 0,2751 × 10⁶ mm⁴
Sottrai
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Risposta
Ix = 66,4 × 10⁶ mm⁴
Domande e risposte
Baricentro e momento d’inerzia: di cosa si tratta?
Taglia una trave di netto e guarda la faccia del taglio. Quella forma è la sezione trasversale, o semplicemente la sezione.
Prendi un’asse di legno di 100 × 20 mm. Appoggiala piatta su un vuoto e si inflette molto. Mettila in piedi sul bordo e sarà molto più rigida, anche se ha esattamente la stessa area.
Baricentro e momento d’inerzia: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Baricentro e momento d’inerzia: che cosa si esercita?
Facile: baricentro
Media: momento d’inerzia
Difficile: tensione di flessione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta.
Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
I tuoi progressi, i tuoi errori e gli esercizi salvati restano memorizzati, così puoi ripassare prima dell’esame.