Spinta idrostatica: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è la forza idrostatica

L’acqua ferma spinge su ogni superficie che tocca: la parete di un serbatoio, una diga, la porta di una chiusa. Quella spinta è la forza idrostatica.

Più scendi in profondità, più forte spinge l’acqua. Lo senti nelle orecchie quando ti immergi sul fondo di una piscina.

La pressione a una profondità h sotto la superficie libera è il peso della colonna d’acqua soprastante per ogni metro quadrato:

ρ è la densità (1000 kg/m³ per l’acqua dolce) e g = 9,81 m/s². Con h in metri, p risulta in Pa (N/m²). Dividi per 1000 per ottenere kPa.

La pressione agisce ad angolo retto sulla superficie. Non dipende dalla forma o dalla larghezza del serbatoio, ma solo dalla profondità.

2Forza su una parete verticale

Su una parete verticale la pressione cresce linearmente da zero in superficie a ρgh sul fondo. Il carico sulla parete è un triangolo.

La forza totale è l’area di quel triangolo per la larghezza b della parete:

La forza agisce attraverso il baricentro del triangolo, a un terzo dell’altezza sopra la base:

Quindi la forza agisce più in basso del punto medio della parete. Ha senso: la parte inferiore è spinta più forte.

3Paratoie sommerse e centro di spinta

Una paratoia posta in profondità nella parete di un serbatoio non inizia dalla superficie. Per qualsiasi superficie piana, la forza è uguale alla pressione nel suo baricentro per la sua area:

y_c è la profondità del baricentro. Per una paratoia rettangolare di altezza H il cui bordo superiore si trova a d sotto la superficie, y_c = d + H/2 e A = H·b.

La forza non agisce nel baricentro. Agisce un po’ più in basso, nel centro di spinta, perché la parte inferiore della paratoia è spinta più forte:

I_c è il momento d’inerzia (momento del secondo ordine) dell’area della paratoia rispetto al suo baricentro. Più la paratoia è profonda, più y_cp si avvicina a y_c.

Per una parete che parte dalla superficie (d = 0) si ottiene y_cp = 2h/3 sotto la superficie, cioè h/3 sopra la base.

4Il metodo passo dopo passo

1. Disegna la superficie e segna la sua profondità sotto la superficie libera: bordo superiore d e altezza H (o profondità h per una parete).
2. Trova la profondità del baricentro y_c e l’area A.
3. Usa la densità del liquido indicato nella domanda: acqua 1000, acqua di mare 1025, olio 880 kg/m³.
4. Forza: F = ρ·g·y_c·A. Dividi per 1000 per ottenere kN.
5. Se viene chiesta la retta d’azione: y_cp = y_c + I_c/(y_c·A), misurata verso il basso dalla superficie libera.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

6Errori comuni

• Porre la forza nel baricentro. Agisce più in basso: a h/3 sopra la base per una parete, in y_cp per una paratoia.
• Misurare ȳ dalla superficie quando la domanda chiede l’altezza sopra la base, o viceversa.
• Usare la profondità del bordo superiore, o di quello inferiore, invece della profondità del baricentro.
• Dimenticare il ½ per una parete che parte dalla superficie.
• Omettere g, o usare la densità dell’acqua per olio o acqua di mare.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: acqua contro una parete verticale dalla superficie in giù. Trova F = ½ρgh²b o l’altezza ȳ = h/3 sopra la base.
• Medio: una paratoia rettangolare sommersa in acqua. Trova F = ρg·y_c·A, come nell’esempio.
• Difficile: la stessa paratoia in olio, acqua di mare o glicerina, e talvolta la profondità del centro di spinta y_cp.

Per la paratoia dell’esempio: I_c = 2 · 2³/12 = 1,333 m⁴, quindi y_cp = 2 + 1,333/(2 · 4) = 2,167 m sotto la superficie. Cioè 0,167 m sotto il baricentro.