Continuità e Bernoulli: esercizi con soluzioni passo passo

Detto anche: teorema di Bernoulli · equazione di continuità · effetto Venturi

Esercizi gratuiti su Continuità e Bernoulli con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: continuità, riduzione orizzontale, tubo in salita.

Esercizio gratuitoFacile
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0,75 m/sd2​ = 25 mm

L’acqua scorre a 0,75 m/s nel tratto largo del tubo, che ha un diametro di 75 mm. Trova la portata volumetrica Q.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0,75 m/s
L/s
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilecontinuità
  2. Mediariduzione orizzontale
  3. Difficiletubo in salita

Formule chiave

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Impara Continuità e Bernoulli da zero

Prima di questo: Spinta idrostatica

1Di che cosa trattano continuità e Bernoulli

Metti il pollice sull’estremità di un tubo da giardino e l’acqua esce più veloce. La stessa quantità di acqua deve passare da un’apertura più piccola, quindi deve muoversi più velocemente.

Questa idea è la continuità: in un tubo pieno l’acqua non può accumularsi né sparire. Ciò che entra ogni secondo deve uscire ogni secondo.

La seconda idea, l’equazione di Bernoulli, collega velocità, pressione e quota. Dove l’acqua accelera, la sua pressione cala. Dove sale, anche la sua pressione cala.

Insieme queste due idee permettono di prevedere la velocità e la pressione in qualsiasi punto di un tubo. In questo argomento il fluido è incomprimibile (come l’acqua) e le perdite per attrito sono ignorate.

Autoverifica L’acqua scorre in un tubo che si restringe. Che cosa succede alla sua velocità nella parte stretta?
  1. Aumenta
  2. Diminuisce
  3. L’acqua si ferma
  4. Resta uguale

Risposta: Aumenta. Lo stesso volume al secondo deve passare attraverso un’area più piccola, quindi l’acqua deve muoversi più velocemente.

2Portata e continuità

La portata volumetrica Q è il volume di fluido che passa al secondo, in m³/s. Un litro al secondo (L/s) è 0,001 m³/s.

Per un fluido che si muove a velocità media v attraverso una sezione di area A:

Q = A · v A = π · d² / 4

La portata massica è ṁ = ρ · Q, in kg/s, dove ρ è la densità (1000 kg/m³ per l’acqua).

La continuità dice che Q è la stessa in ogni sezione del tubo:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

Per i tubi circolari il π/4 si semplifica, quindi v2 = v1 · (d1 / d2)². Dimezzare il diametro rende l’acqua quattro volte più veloce.

Autoverifica Un tubo si restringe da 80 mm a 40 mm. L’acqua si muove a 1 m/s nella parte larga. Quanto veloce si muove nella parte stretta?
  1. 0,25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

Risposta: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. L’area dipende dal quadrato del diametro. Usare il rapporto dei diametri senza elevarlo al quadrato dà 2 m/s.

3L’equazione di Bernoulli

Lungo una linea di corrente senza perdite, l’energia per metro cubo di fluido resta la stessa. Ha tre parti: pressione, movimento e quota.

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: la pressione, in Pa.
  • ½ρv²: l’energia cinetica per m³, anch’essa in Pa.
  • ρgz: l’energia di quota per m³, dove z è l’altezza sopra un qualsiasi livello di riferimento che scegli.

Quindi se una parte cresce, un’altra deve diminuire. L’acqua più veloce ha pressione più bassa. L’acqua più in alto ha pressione più bassa.

Un caso particolare utile è un serbatoio che si svuota da un piccolo foro a una profondità h sotto la superficie libera. La superficie si muove appena ed entrambi i punti sono a pressione atmosferica, il che dà la legge di Torricelli:

v = √(2gh)
Autoverifica Un serbatoio d’acqua aperto si svuota da un piccolo foro 5 m sotto la superficie dell’acqua. Ignorando le perdite, con quale velocità esce il getto dal foro? (g = 9,81 m/s²)
  1. 49,1 m/s
  2. 7,00 m/s
  3. 9,90 m/s
  4. 98,1 m/s

Risposta: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Dimenticare il 2 dà 7,00 m/s, e dimenticare la radice quadrata dà 98,1.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Disegna il tubo e numera due sezioni: la 1 dove sai di più, la 2 dove c’è l’incognita.
  2. Converti le unità: mm in m, kPa in Pa, L/s in m³/s.
  3. Trova le aree A = π·d²/4 e usa la continuità per ottenere la velocità mancante.
  4. Scrivi Bernoulli tra le sezioni 1 e 2. Per un tubo orizzontale z1 = z2, quindi i termini di quota si annullano.
  5. Risolvi per l’incognita, poi riconverti in kPa se serve.

Mantieni coerenti le unità. Con ρ in kg/m³ e v in m/s, il termine ½ρv² risulta in Pa, non in kPa.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 50 mm. Nella sezione larga la pressione è 200 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Ignorando le perdite, trova la pressione nella sezione stretta.

1

Disegna il tubo

121,5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

La sezione 1 è la parte larga, dove tutto è noto. La sezione 2 è la parte stretta.

2

Velocità nella parte stretta

Il diametro si dimezza, quindi la velocità cresce di un fattore (100/50)² = 4:

v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

Scrivi Bernoulli

Il tubo è orizzontale, quindi i termini di quota si annullano:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

Sostituisci, in pascal

½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5

Controlla il risultato

L’acqua è più veloce nella parte stretta, quindi la sua pressione deve essere più bassa. 183,1 kPa è più basso di 200 kPa, come previsto.

La portata è Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s in entrambe le sezioni.

Risposta

p2 ≈ 183,1 kPa nella sezione stretta (v2 = 6 m/s).

6Errori comuni

  • Usare il rapporto dei diametri invece del rapporto delle aree: le velocità cambiano con il quadrato del diametro.
  • Usare il raggio come se fosse il diametro in A = π·d²/4, o dimenticare il /4.
  • Mescolare kPa e Pa. Lavora in Pa in Bernoulli, poi converti alla fine.
  • Riportare m³/s come L/s. Moltiplica m³/s per 1000 per ottenere L/s.
  • Dimenticare il termine di quota ρ·g·Δz quando il tubo sale o scende.
Autoverifica L’acqua scorre a 2 m/s in un tubo con diametro interno di 100 mm. Qual è la portata volumetrica?
  1. 0,0157 L/s
  2. 15,7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62,8 L/s

Risposta: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², quindi Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Dimenticare il /4 dà 62,8, e dimenticare π/4 dà 20.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: continuità. Trova una portata, una portata massica, la velocità in una sezione più stretta, o il diametro del tubo necessario per una data portata. Alcune domande usano la legge di Torricelli per un serbatoio che si svuota.
  • Medio: un riduttore orizzontale. Trova la pressione in una sezione a partire dall’altra. Le varianti usano un venturimetro, un tubo di Pitot (v = √(2Δp/ρ)) o un orifizio con un coefficiente di efflusso.
  • Difficile: un tubo in salita. Il termine di quota conta: ogni metro di salita abbassa la pressione di ρ·g·1 = 9,81 kPa per l’acqua. Le varianti includono un sifone, un serbatoio in pressione e una fontana.

Nell’esempio precedente, un dislivello di 5 m tra le sezioni abbasserebbe p2 di altri 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, a 134,1 kPa.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2,75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo che si restringe da 100 mm a 50 mm di diametro. La velocità nel tratto largo è 2,75 m/s. Trova la velocità v2 nel tratto stretto.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s

Calcola v2 (m/s)

Mostra i suggerimenti
  1. Lo stesso volume d’acqua attraversa ogni sezione ogni secondo: Q = A·v.
  2. A₁v₁ = A₂v₂, e l’area è proporzionale a d², quindi v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
  3. A1 = 0,007854 m².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità

La portata è la stessa in entrambe le sezioni.

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

Risposta

v2 = 11 m/s
Esempio 2Media
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 250 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

Calcola p2 (kPa)

Mostra i suggerimenti
  1. Usa prima la continuità per trovare la velocità nel tratto stretto.
  2. Bernoulli per un tubo orizzontale: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
  3. v2 = 4,5 m/s.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

Risposta

p2 = 240 kPa
Esempio 3Difficile
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 190 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 4 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

pair = 190 kPa (relativa)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Calcola Q (L/s)

Mostra i suggerimenti
  1. Bernoulli dal pelo libero (pressione relativa p, in quiete) al getto (a pressione atmosferica).
  2. p/ρ + gh = ½v², quindi v = √(2(p/ρ + gh)) con p in Pa.
  3. p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0004909·21,41 = 0,01051 m³/s = 10,51 L/s

Risposta

Q = 10,51 L/s

Domande e risposte

Continuità e Bernoulli: di cosa si tratta?

Metti il pollice sull’estremità di un tubo da giardino e l’acqua esce più veloce. La stessa quantità di acqua deve passare da un’apertura più piccola, quindi deve muoversi più velocemente.

Questa idea è la continuità: in un tubo pieno l’acqua non può accumularsi né sparire. Ciò che entra ogni secondo deve uscire ogni secondo.

Continuità e Bernoulli: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli: quali sono gli errori più comuni?
  • Anche la pressione dell’aria spinge fuori l’acqua: includi p/ρ nell’equazione di Bernoulli.
  • Anche l’altezza dell’acqua contribuisce alla velocità: v = √(2(p/ρ + gh)).
Continuità e Bernoulli: che cosa si esercita?
  • Facile: continuità
  • Media: riduzione orizzontale
  • Difficile: tubo in salita

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