Ingranaggi e rotismi: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Ingranaggi e rotismi con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: rapporto di velocità, momento torcente e potenza, rotismo composto.

Esercizio gratuitoFacile
N1​ = 30N2​ = 48

Una ruota motrice con 30 denti gira a 1500 rpm e ingrana con una ruota con 48 denti. Trova la velocità n2 della ruota condotta.

N1 = 30N2 = 48n1 = 1500 rpm
rpm
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilerapporto di velocità
  2. Mediamomento torcente e potenza
  3. Difficilerotismo composto

Formule chiave

Ruote dentate in presa
n1·N1 = n2·N2
Momento torcente
T2 = T1·(N2/N1)·η
Potenza
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto
rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Impara Ingranaggi e rotismi da zero

1Che cosa fanno gli ingranaggi

Gli ingranaggi trasmettono la rotazione da un albero a un altro. I loro denti si incastrano gli uni negli altri, quindi non possono slittare.

Un riduttore svolge due compiti insieme. Cambia la velocità di rotazione, e cambia la coppia, la forza di rotazione sull’albero. Più lento significa più forte.

Un motore elettrico gira veloce ma con poca coppia. Una coppia di ingranaggi lo rallenta in modo che possa muovere un pesante nastro trasportatore o un argano. Una bicicletta con una marcia bassa funziona allo stesso modo.

L’ingranaggio azionato dal motore è l’ingranaggio motore (spesso un piccolo ingranaggio chiamato pignone). L’ingranaggio che fa girare è l’ingranaggio condotto.

N1​, n1​N2​, n2​

Due ingranaggi in presa girano in versi opposti.

Autoverifica Un piccolo ingranaggio ne aziona uno grande. Rispetto al piccolo, l’ingranaggio grande gira…
  1. alla stessa velocità nello stesso verso
  2. più lentamente, con meno coppia
  3. più lentamente, con più coppia
  4. più velocemente, con più coppia

Risposta: più lentamente, con più coppia. L’ingranaggio grande ha bisogno di più giri di quello piccolo per fare un giro suo, quindi è più lento. La potenza è quasi la stessa, quindi l’albero più lento porta più coppia.

2Il rapporto di velocità

Nel punto in cui due ingranaggi si toccano, i loro denti passano con la stessa velocità. Se il pignone fa un giro con 20 denti, spinge oltre 20 denti dell’ingranaggio grande. Un ingranaggio da 60 denti fa allora solo un terzo di giro.

Quindi le velocità n (in rpm) e i numeri di denti N sono legati da:

n1 · N1 = n2 · N2

Il rapporto di trasmissione è i = N2 / N1 = n1 / n2. Un rapporto di 3 significa che l’uscita gira tre volte più lentamente.

In un treno di ingranaggi composto, due ingranaggi stanno sullo stesso albero intermedio, quindi girano alla stessa velocità. Il rapporto totale è il prodotto dei rapporti dei singoli stadi:

itotal = (NB / NA) · (ND / NC)

Un ingranaggio di rinvio tra altri due (ciascuno sul proprio albero) cambia solo il verso di rotazione. La velocità dell’ultimo ingranaggio dipende solo dal primo e dall’ultimo.

Autoverifica Un ingranaggio da 20 denti che gira a 900 rpm aziona un ingranaggio da 60 denti. A che velocità gira l’ingranaggio da 60 denti?
  1. 1,33 rpm
  2. 2700 rpm
  3. 300 rpm
  4. 900 rpm

Risposta: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. Moltiplicare per 60/20 dà 2700 rpm: l’ingranaggio grande girerebbe allora più veloce, il che è al contrario.

3Coppia e potenza

La potenza è la coppia per la velocità angolare. La velocità angolare deve essere in rad/s, quindi converti prima dagli rpm:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

Una coppia di ingranaggi trasmette quasi tutta la potenza. Solo pochi punti percentuali si perdono per attrito, descritti dal rendimento η (tipicamente da 0,95 a 0,98):

P2 = η · P1

Poiché la velocità scende del rapporto di trasmissione mentre la potenza resta quasi uguale, la coppia sale di quel rapporto:

T2 = T1 · (N2 / N1) · η
Autoverifica Un motore da 3 kW gira a 955 rpm. Quale coppia eroga?
  1. 0,03 N·m
  2. 188 N·m
  3. 3,14 N·m
  4. 30 N·m

Risposta: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, quindi T = 3000/100 = 30 N·m. Dividere direttamente per gli rpm dà 3,14, lasciare la potenza in kW dà 0,03, e dimenticare il 2π dà 188.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Disegna gli ingranaggi e scrivi il numero di denti di ciascuno. Segna l’albero d’ingresso e l’albero d’uscita.
  2. Trova il rapporto di ogni stadio, denti condotti / denti motori, e moltiplica gli stadi per un treno composto.
  3. Velocità in uscita: nout = nin / itot.
  4. Coppia in ingresso dal motore: converti gli rpm in rad/s con ω = 2π·n/60, poi T = P/ω.
  5. Coppia in uscita: moltiplica per il rapporto e per il rendimento di ogni presa tra ingranaggi.

Controlla il verso della risposta: una riduzione rende l’uscita più lenta e la sua coppia più grande.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Un motore da 4 kW che gira a 1200 rpm aziona un pignone con 20 denti, che ingrana con un ingranaggio da 60 denti. La coppia di ingranaggi ha un rendimento del 96%. Trova la velocità dell’ingranaggio e la coppia in uscita sul suo albero.

1

Disegna la coppia

20, 1200 rpm60, n2​ = ?

Il pignone è l’ingranaggio motore. Il rapporto di trasmissione è i = 60/20 = 3.

2

Velocità in uscita

n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3

Momento torcente in ingresso

Converti prima la velocità del motore in rad/s:

ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4

Momento torcente in uscita

T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5

Controlla il risultato

Potenza in uscita: P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W, e ω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

La stessa coppia, trovata dalla potenza. La risposta è giusta.

Risposta

L’ingranaggio gira a n2 = 400 rpm con una coppia in uscita di T2 ≈ 91,7 N·m.

6Errori comuni

  • Capovolgere il rapporto dei denti. Un ingranaggio condotto più grande deve girare più lento.
  • Usare gli rpm in P = T·ω. Converti in rad/s con ω = 2π·n/60.
  • Dividere la coppia per il rapporto invece di moltiplicarla. Una riduzione aumenta la coppia.
  • Dividere per il rendimento. L’attrito rende la coppia in uscita minore, quindi moltiplica per η.
  • Contare un ingranaggio di rinvio nel rapporto, o moltiplicare i denti di due ingranaggi sullo stesso albero.
Autoverifica Un pignone con 20 denti porta 10 N·m e aziona un ingranaggio da 60 denti. Il rendimento è 95%. Qual è la coppia in uscita?
  1. 28,5 N·m
  2. 3,17 N·m
  3. 30 N·m
  4. 31,6 N·m

Risposta: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Dividere per il rapporto dà 3,17, ignorare il rendimento dà 30, e dividere per η dà 31,6.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: il rapporto di velocità. Trova la velocità dell’ingranaggio condotto, o il numero di denti necessario per una data velocità. Le varianti includono un ingranaggio di rinvio, e la dimensione degli ingranaggi dal modulo m: diametro primitivo d = m·N, interasse a = m·(N1 + N2)/2.
  • Medio: coppia e potenza. Un motore di data potenza e velocità aziona una coppia di ingranaggi: trova la coppia in ingresso o in uscita. Altre chiedono la forza tangenziale sui denti, Ft = 2T/d, oppure riguardano una trasmissione a vite senza fine (rapporto = denti della ruota / principi della vite).
  • Difficile: un treno di ingranaggi composto. Trova la velocità in uscita, i denti necessari sull’ultimo ingranaggio, o la coppia in uscita con un rendimento per ogni presa. Alcune domande usano un rotismo epicicloidale.

Per un treno composto come A (20) → B (60), poi C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9, quindi un ingresso di 900 rpm dà 100 rpm in uscita.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

Un motore che gira a 1500 giri/min aziona una puleggia da 160 mm. Una cinghia la collega a una puleggia da 400 mm. Supponendo assenza di slittamento, trova la velocità n2 della puleggia condotta.

n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mm

Calcola n2 (rpm)

Mostra i suggerimenti
  1. La cinghia si muove a una sola velocità, quindi entrambe le periferie hanno la stessa velocità.
  2. π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
  3. n₂ = 1500·160/400.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.

Velocità periferiche uguali

n₁·d₁ = n₂·d₂

Velocità della condotta

n2 = 1500·160/400 = 600 rpm

Risposta

n2 = 600 rpm
Esempio 2Media
N1​ = 16N2​ = 80

Un motore da 7,5 kW che gira a 1450 rpm aziona un pignone con 16 denti, che ingrana con una ruota con 80 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 98 %. Trova il momento torcente in uscita T2 sull’albero della ruota.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 80η = 98%

Calcola T2 (N·m)

Mostra i suggerimenti
  1. Momento torcente del motore dalla potenza: T = P/ω, con ω = 2π·n/60 in rad/s.
  2. ω₁ = 151,8 rad/s.
  3. L’ingranaggio moltiplica il momento torcente per N₂/N₁ (e ne perde un po’ per attrito).
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Momento torcente del motore

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Momento torcente in uscita

T2 = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

Risposta

T2 = 242 N·m
Esempio 3Difficile
A = 32B = 60C = 50D = ?

In un rotismo composto, la ruota A (32 denti) sull’albero di ingresso gira a 960 rpm e aziona la ruota B (60 denti). La ruota C (50 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D sull’albero di uscita. L’uscita deve girare a 320 rpm. Quanti denti ND deve avere la ruota D?

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 50nout = 320 rpm

Calcola ND

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la velocità dell’albero intermedio: nB = nin·A/B.
  2. Poi C aziona D: ND = C·nB/nout.
  3. nB = 512 rpm.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Velocità dell’albero intermedio

nB = nC = 960·32/60 = 512 rpm

Denti della ruota D

ND = C·nC/nout = 50·512/320 = 80

Risposta

ND = 80

Domande e risposte

Ingranaggi e rotismi: di cosa si tratta?

Gli ingranaggi trasmettono la rotazione da un albero a un altro. I loro denti si incastrano gli uni negli altri, quindi non possono slittare.

Un riduttore svolge due compiti insieme. Cambia la velocità di rotazione, e cambia la coppia, la forza di rotazione sull’albero. Più lento significa più forte.

Ingranaggi e rotismi: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.

Ingranaggi e rotismi: quali sono gli errori più comuni?
  • La puleggia più grande gira più lentamente: n₂ = n₁·d₁/d₂.
  • Sono uguali le velocità periferiche, non le velocità degli alberi.
  • Il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.
Ingranaggi e rotismi: che cosa si esercita?
  • Facile: rapporto di velocità
  • Media: momento torcente e potenza
  • Difficile: rotismo composto

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