Vibrazioni meccaniche: esercizi con soluzioni passo passo
Esercizi gratuiti su Vibrazioni meccaniche con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: frequenza naturale, fattore di smorzamento, molle in serie e in parallelo.
Esercizio gratuitoFacile
Una macchina poggia su supporti elastici, che si comprimono di 15 mm sotto il suo peso. Trattala come un sistema non smorzato a un grado di libertà e usa g = 9,81 m/s². Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Appendi una massa a una molla, tirala un po’ verso il basso e lasciala andare. Rimbalza su e giù attorno alla sua posizione di riposo. Quel moto che si ripete è una vibrazione.
Ogni sistema di questo tipo ha un proprio ritmo preferito, la frequenza propria. Dipende solo da quanto è rigida la molla e da quanto è pesante la massa, non da quanto l’hai tirata.
Gli ingegneri se ne preoccupano perché una macchina scossa alla sua frequenza propria può vibrare in modo violento. Questa si chiama risonanza. I supporti dei motori, le lavatrici e i ponti sono progettati tenendone conto.
Una molla più rigida rende la vibrazione più veloce. Una massa più pesante la rende più lenta.
Autoverifica Sostituisci la massa su una molla con una quattro volte più pesante. Che cosa succede alla frequenza propria?
Diventa quattro volte più bassa
Raddoppia
Resta uguale
Si dimezza
Risposta: Si dimezza. La frequenza dipende da √(k/m). Una massa quattro volte più grande divide la radice quadrata per √4 = 2, quindi la frequenza si dimezza.
2Frequenza propria e combinazioni di molle
Per una massa m (kg) su una molla di rigidezza k (N/m), la pulsazione propria in rad/s è:
ωn = √(k / m)
Un ciclo completo è 2π radianti. Quindi la frequenza propria in hertz (cicli al secondo) e il periodo (secondi per ciclo) sono:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
A volte conosci solo di quanto la molla si abbassa sotto il peso, la deflessione statica δst = m·g/k. Allora ωn = √(g / δst), con δst in metri.
Quando ci sono più molle, sostituiscile prima con un’unica molla equivalente:
Affiancate (in parallelo), le molle si dividono il carico e le rigidezze si sommano.
Una dopo l’altra (in serie), ogni molla porta il carico intero, e la molla equivalente è più cedevole di ciascuna.
Autoverifica Due molle da 10 kN/m ciascuna sono collegate una dopo l’altra (in serie). Qual è la rigidezza equivalente?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Risposta: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, quindi k = 5 kN/m. Sommarle a 20 kN/m è la regola per molle in parallelo.
3Smorzamento
Le vibrazioni reali si smorzano. Uno smorzatore (un pistone che si muove nell’olio, come l’ammortizzatore di un’auto) sottrae energia. La sua intensità è il coefficiente di smorzamento c in N·s/m.
Lo smorzamento critico è la quantità di smorzamento che impedisce appena alla massa di rimbalzare:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Il rapporto di smorzamento confronta lo smorzamento reale con quel valore critico:
ζ = c / cc
ζ < 1: sottosmorzato. La massa vibra ancora, ma le oscillazioni si riducono.
ζ = 1: smorzamento critico. Ritorna a riposo il più in fretta possibile senza oltrepassare la posizione.
ζ > 1: sovrasmorzato. Ritorna lentamente senza vibrare.
Un sistema sottosmorzato vibra un po’ più lentamente di quello non smorzato, alla frequenza propria smorzata:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Autoverifica Una massa di 10 kg poggia su una molla di 1000 N/m con uno smorzatore di c = 50 N·s/m. Qual è il rapporto di smorzamento?
0,25
0,5
2,5
4
Risposta: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, quindi ζ = 50/200 = 0,25. Dimenticare il fattore 2 dà 0,5, e dividere al contrario dà 4.
4Il metodo passo dopo passo
Converti tutto in unità SI: kN/m in N/m (× 1000), mm in m, grammi in kg.
Se ci sono più molle, combinale in un unico k: sommale in parallelo, somma i loro reciproci in serie.
Trova ωn = √(k/m) in rad/s.
Se la domanda chiede gli hertz, dividi per 2π: fn = ωn/(2π). Per il periodo, prendi T = 1/fn.
Con lo smorzamento, trova cc = 2·√(k·m), poi ζ = c/cc e, se richiesto, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Tieni separati ω (rad/s) e f (Hz). Differiscono per un fattore 2π ≈ 6,28, e confonderli è il modo più comune di perdere punti.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Una massa di 50 kg è appesa a una molla con una rigidezza di 20 kN/m. Trascura lo smorzamento. Trova la frequenza propria fn in Hz e il periodo di vibrazione.
1
Disegna e converti
La rigidezza deve essere in N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. La massa è già in kg.
2
Pulsazione naturale
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Converti in hertz
Dividi per 2π per contare i cicli completi al secondo:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Il periodo
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
La massa compie poco più di tre cicli completi di salita e discesa ogni secondo.
5
Controlla il risultato
La deflessione statica è δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Gli stessi 20 rad/s, trovati in un altro modo. La risposta è giusta.
6
Per andare oltre: aggiungi uno smorzatore
Con uno smorzatore di c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, quindi ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Risposta
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), e il periodo è T ≈ 0,314 s.
6Errori comuni
Dare ωn in rad/s quando la domanda chiede fn in Hz, o viceversa.
Lasciare la rigidezza in kN/m. La formula richiede N/m.
Sommare le molle in serie come se fossero in parallelo.
Dimenticare il 2 in cc = 2·√(k·m).
Usare il peso m·g invece della massa m in ωn = √(k/m).
Autoverifica Una massa di 4 kg è appesa a una molla di 400 N/m. Quanto vale la sua frequenza propria in Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Risposta: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, e fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Fermarsi a 10 dà rad/s, non Hz; moltiplicare per 2π dà 62,8; usare 0,4 (kN/m) dà 0,05 Hz.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: frequenza propria. Una massa su una molla: trova ωn in rad/s o fn in Hz. Alcune domande danno solo la deflessione statica di una macchina sui suoi supporti.
Medio: rapporto di smorzamento. Trova ζ da m, k e c, oppure trova la frequenza smorzata fd da un dato ζ. Altre danno due picchi da una prova di vibrazione libera.
Difficile: molle in serie e in parallelo, a volte entrambe (due molle affiancate che reggono una barra, con una terza molla sotto). Trova prima keq, poi fn.
Per due picchi x0 e xn distanti n cicli, usa il decremento logaritmico:
Una massa di 40 kg è appesa a una molla con rigidezza di 15 kN/m. Trascura lo smorzamento. Trova la frequenza naturale fn in Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Calcola fn(Hz)
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Lavora in unità SI: k in N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
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Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Pulsazione naturale
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
In hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Risposta
fn = 3,082 Hz
Esempio 2Media
Una massa di 10 kg su una molla con rigidezza di 50 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,4. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Calcola fd(Hz)
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Trova prima la frequenza naturale non smorzata.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
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Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frequenza naturale non smorzata
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Frequenza naturale smorzata
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Risposta
fd = 10,31 Hz
Esempio 3Difficile
Una massa di 5 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 80 kN/m e quella inferiore k₂ = 20 kN/m. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Calcola keq(kN/m)
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Le molle in parallelo hanno la stessa deformazione: le rigidezze si sommano. Le molle in serie hanno la stessa forza: si sommano le cedevolezze 1/k.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
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Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Rigidezza equivalente
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Appendi una massa a una molla, tirala un po’ verso il basso e lasciala andare. Rimbalza su e giù attorno alla sua posizione di riposo. Quel moto che si ripete è una vibrazione.
Ogni sistema di questo tipo ha un proprio ritmo preferito, la frequenza propria. Dipende solo da quanto è rigida la molla e da quanto è pesante la massa, non da quanto l’hai tirata.
Vibrazioni meccaniche: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Vibrazioni meccaniche: quali sono gli errori più comuni?
Questa è ωn in rad/s. Dividi per 2π per ottenere la frequenza in Hz.
Converti i kN/m in N/m (moltiplica per 1000) prima di usare ωn = √(k/m).
Dividi ωn per 2π per ottenere gli Hz; non moltiplicare.
Vibrazioni meccaniche: che cosa si esercita?
Facile: frequenza naturale
Media: fattore di smorzamento
Difficile: molle in serie e in parallelo
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
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