Attrito nei condotti e perdite di carico: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Attrito nei condotti e perdite di carico con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: Numero di Reynolds, perdita di carico di Darcy–Weisbach, perdite localizzate e carico totale.

Esercizio gratuitoFacile
V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Acqua a 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) scorre con una velocità media di 0,8 m/s in un tubo con diametro interno di 50 mm. Trova il numero di Reynolds Re.

V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s
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Su cosa ti eserciti

  1. FacileNumero di Reynolds
  2. Mediaperdita di carico di Darcy–Weisbach
  3. Difficileperdite localizzate e carico totale

Formule chiave

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Impara Attrito nei condotti e perdite di carico da zero

Prima di questo: Continuità e Bernoulli

1Che cos’è la perdita di carico

L’equazione di Bernoulli presuppone che il fluido scorra senza attrito. In un tubo reale l’acqua sfrega contro la parete e contro se stessa, e parte della sua energia si trasforma in calore.

Gli ingegneri misurano questa energia persa come un’altezza di fluido, detta perdita di carico, in metri. Una perdita di carico di 3 m significa che l’acqua ha perso tanta energia quanta ne servirebbe per salire di 3 m.

Lo si vede con due tubicini sottili (piezometri) su un tubo orizzontale. L’acqua sale meno nel tubicino a valle. La differenza è la perdita di carico tra i due.

hf​VLD

La perdita di carico è il motivo per cui le lunghe condotte hanno bisogno di pompe, e per cui un tubo da giardino dà un getto più debole quando è molto lungo.

Una perdita di carico si converte in una caduta di pressione con Δp = ρ · g · hf. Per l’acqua, 1 m di carico equivale a circa 9,81 kPa.

Autoverifica L’acqua perde 2 m di carico per attrito lungo un tubo orizzontale. Quale caduta di pressione è? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 kPa
  2. 196 kPa
  3. 2 kPa
  4. 9,81 kPa

Risposta: 19,6 kPa. Δp = ρ · g · hf = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,6 kPa. Ogni metro di carico d’acqua equivale a circa 9,81 kPa.

2Numero di Reynolds: laminare o turbolento

Un flusso lento in un tubo sottile si muove a strati regolari. Questo è un flusso laminare. Un flusso veloce in un tubo largo si agita e si mescola. Questo è un flusso turbolento.

Il numero di Reynolds ti dice quale hai. Confronta la spinta del fluido in movimento con la sua viscosità (appiccicosità):

Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ
  • V: la velocità media in m/s, V = Q/A.
  • D: il diametro interno in m.
  • ν: la viscosità cinematica in m²/s (circa 1,0 × 10⁻⁶ m²/s per l’acqua a 20 °C), oppure μ: la viscosità dinamica in Pa·s, usata con la densità ρ.

Re non ha unità. Sotto circa 2000 il flusso è laminare. Sopra circa 4000 è turbolento. La maggior parte dei tubi dell’acqua è turbolenta.

Autoverifica L’acqua (ν = 1,0 × 10⁻⁶ m²/s) scorre a 0,5 m/s in un tubo con diametro interno di 20 mm. Qual è il numero di Reynolds?
  1. 0,01
  2. 10 000 000
  3. 10 000
  4. 5000

Risposta: 10 000. Re = 0,5 · 0,020 / 10⁻⁶ = 10 000, quindi il flusso è turbolento. Usare il diametro in mm dà 10 000 000, e usare il raggio dà 5000.

3Perdite per attrito e perdite localizzate

La perdita per attrito lungo un tubo rettilineo è data dall’equazione di Darcy–Weisbach:

hf = f · (L / D) · V² / (2g)

Qui f è il fattore di attrito di Darcy (dato nella domanda, tipicamente da 0,015 a 0,03) e L è la lunghezza del tubo. Il termine V²/(2g) è il carico cinetico (altezza cinetica).

La perdita cresce con il quadrato della velocità. Raddoppiare la portata nello stesso tubo dà una perdita per attrito quattro volte maggiore.

Raccordi come curve, valvole, l’ingresso da un serbatoio e lo sbocco in un serbatoio causano perdite localizzate aggiuntive. Ognuna ha un coefficiente di perdita K:

hm = ΣK · V² / (2g)

Valori tipici: un ingresso a spigolo vivo K = 0,5, una curva a 90° circa 0,3, lo sbocco in un serbatoio K = 1,0. La perdita totale è hL = hf + hm.

Autoverifica La portata in un tubo raddoppia. Di quale fattore cambia la perdita di carico per attrito, se f resta uguale?
  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. ½

Risposta: 4. Portata doppia significa velocità doppia, e hf dipende da V². Quindi la perdita diventa 2² = 4 volte più grande.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Converti le unità: diametri in m, portate in m³/s (L/s ÷ 1000).
  2. Trova l’area A = π·D²/4 e la velocità media V = Q/A.
  3. Calcola il carico cinetico V²/(2g). Quasi ogni formula di questo argomento lo usa.
  4. Per il regime, trova Re = V·D/ν. Per la perdita per attrito, hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  5. Aggiungi le perdite localizzate con ΣK·V²/(2g). Converti in caduta di pressione con Δp = ρ·g·h se richiesto.

L/D è spesso un numero grande (1000 o più). Calcolalo prima da solo così puoi vedere che è sensato.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

L’acqua scorre a 10 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito e la caduta di pressione.

1

Disegna e converti

hf​ = ?V200 m100 mm

Q = 10 L/s = 0,010 m³/s e D = 0,100 m.

2

Velocità media

A = π · 0,1² / 4 = 0,007854 m²
V = Q / A = 0,010 / 0,007854 = 1,273 m/s
3

Carico cinetico e L/D

V² / (2g) = 1,273² / 19,62 = 0,0826 m
L / D = 200 / 0,1 = 2000
4

Darcy–Weisbach

hf = 0,02 · 2000 · 0,0826 = 3,31 m
5

Caduta di pressione

Su un tubo orizzontale il carico perso si manifesta come caduta di pressione:

Δp = 1000 · 9,81 · 3,305 = 32 400 Pa ≈ 32,4 kPa
6

Controlla il risultato

Re = 1,273 · 0,1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000, quindi il flusso è turbolento e un fattore di attrito costante di 0,02 è ragionevole.

Circa 1,7 m di perdita ogni 100 m di tubo è un ordine di grandezza normale per l’acqua a circa 1 m/s.

Risposta

hf ≈ 3,31 m, che corrisponde a una caduta di pressione di circa 32,4 kPa.

6Errori comuni

  • Dimenticare il 2g, o il quadrato su V, nel carico cinetico V²/(2g).
  • Lasciare il diametro in mm, il che rende L/D mille volte troppo piccolo.
  • Usare la portata Q al posto della velocità V. Converti prima con V = Q/A.
  • Contare due volte la perdita di sbocco (K = 1,0): una come perdita localizzata e una come carico cinetico di un getto in un serbatoio.
  • Dare un carico in metri quando è richiesta una pressione, o viceversa.
Autoverifica L’acqua scorre a 1 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm e f = 0,02. Qual è la perdita di carico per attrito? (g = 9,81 m/s²)
  1. 0,00102 m
  2. 1,02 m
  3. 2,04 m
  4. 20 m

Risposta: 1,02 m. hf = 0,02 · (100/0,1) · 1²/19,62 = 1,02 m. Dividere per g invece che per 2g dà 2,04 m, omettere il 2g dà 20 m, e D in mm dà 0,00102 m.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: il numero di Reynolds. Dalla velocità o dalla portata, dal diametro e dalla viscosità (ν, oppure ρ e μ), trova Re e di’ se il flusso è laminare o turbolento.
  • Medio: Darcy–Weisbach. Trova la perdita di carico per attrito hf o la caduta di pressione Δp per un dato tubo, una data portata e un dato fattore di attrito.
  • Difficile: perdite localizzate e carico totale. Un tubo da un serbatoio con un ingresso, curve e una valvola. Trova l’altezza del serbatoio necessaria per una portata, o la portata tra due serbatoi.

Per un tubo da un serbatoio che termina in un getto libero, il getto porta comunque il suo carico cinetico: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).

Tra due serbatoi aperti, il dislivello è consumato solo dalle perdite: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), con lo sbocco K = 1,0 in ΣK. Risolvi per V, poi Q = A·V.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Acqua a 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) scorre in un tubo con diametro interno di 50 mm con una portata di 5 L/s. Trova il numero di Reynolds Re.

Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Calcola Re

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la velocità media: V = Q/A con A = π·D²/4.
  2. Poi Re = V·D/ν.
  3. A = 0,001963 m², V = 2,546 m/s.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Numero di Reynolds

Re = V·D/ν = 2,546·0,05/(1,31 × 10⁻⁶) = 97194

Risposta

Re = 97194

Re è sopra 4000, quindi il moto è turbolento.

Esempio 2Media
V = 1,1 m/sD = 100 mmL = 400 mf = 0,015

Acqua scorre con una velocità media di 1,1 m/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.

V = 1,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

Calcola hf (m)

Mostra i suggerimenti
  1. Darcy–Weisbach: hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  2. Esprimi D in metri: D = 0,1 m.
  3. L/D = 4000, V²/(2g) = 0,06167 m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 3,7 m

Risposta

hf = 3,7 m
Esempio 3Difficile
K = 2sbocco liberoH = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,0223× curva (K = 0,3)

Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2

Calcola H (m)

Mostra i suggerimenti
  1. Equazione dell’energia dal pelo libero del serbatoio (in quiete) allo sbocco (pressione atmosferica, velocità V).
  2. H = V²/(2g) + (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  3. V = 2,829 m/s, V²/(2g) = 0,408 m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 11 + 3,4)·0,408 = 6,284 m

Risposta

H = 6,284 m

Domande e risposte

Attrito nei condotti e perdite di carico: di cosa si tratta?

L’equazione di Bernoulli presuppone che il fluido scorra senza attrito. In un tubo reale l’acqua sfrega contro la parete e contro se stessa, e parte della sua energia si trasforma in calore.

Gli ingegneri misurano questa energia persa come un’altezza di fluido, detta perdita di carico, in metri. Una perdita di carico di 3 m significa che l’acqua ha perso tanta energia quanta ne servirebbe per salire di 3 m.

Attrito nei condotti e perdite di carico: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Attrito nei condotti e perdite di carico: quali sono gli errori più comuni?
  • L’area di passaggio di un tubo è A = π·D²/4, non π·D².
  • π·D²/4 usa il diametro. Usare il raggio in questa formula rende l’area quattro volte troppo piccola.
  • Converti prima i L/s in m³/s: 1 L/s = 0,001 m³/s.
Attrito nei condotti e perdite di carico: che cosa si esercita?
  • Facile: Numero di Reynolds
  • Media: perdita di carico di Darcy–Weisbach
  • Difficile: perdite localizzate e carico totale

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Argomenti prima e dopo questo

Da studiare prima

Continuità e Bernoulli

Poi continua con

Pompe e potenza delle pompe

Calcolatrici

Calcolatrice della perdita di carico nei condotti (Darcy–Weisbach)Calcolatore del numero di Reynolds

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