Lavoro ed energia: esercizi con soluzioni passo passo

1Che cos’è l’energia

L’energia è la capacità di far muovere o cambiare qualcosa. Si misura in joule (J). Un joule è l’energia necessaria per spingere con 1 N per 1 m.

L’energia non si crea e non si distrugge. Cambia solo forma. Una palla che cade trasforma l’altezza in velocità. Un’auto che frena trasforma la velocità in calore nei freni.

Questo ti offre una scorciatoia potente. Invece di seguire il moto secondo per secondo con le forze, confronti l’energia all’inizio con quella alla fine.

In questo argomento incontri tre forme di energia meccanica: l’energia del moto, l’energia dell’altezza e l’energia immagazzinata in una molla. L’attrito sottrae energia e la trasforma in calore.

2Lavoro ed energia cinetica

Una forza compie lavoro quando sposta qualcosa. Il lavoro è la forza per lo spostamento nella direzione della forza:

Qui α è l’angolo tra la forza e il moto. Una forza lungo il moto (α = 0) compie il lavoro pieno. Una forza ad angolo retto (α = 90°) non compie alcun lavoro.

L’energia del moto è l’energia cinetica. Cresce con il quadrato della velocità, quindi raddoppiando la velocità si ottiene un’energia quattro volte maggiore:

Il lavoro compiuto da tutte le forze insieme è uguale alla variazione di energia cinetica. Questo è il teorema lavoro–energia.

3Energia potenziale: altezza e molle

Un oggetto che si trova più in alto può cadere e acquistare velocità. L’energia che possiede per la sua altezza è l’energia potenziale gravitazionale:

Conta solo la variazione di altezza, quindi il livello zero lo scegli tu. Di solito la scelta più comoda è il punto più basso del moto.

Una molla compressa o allungata di una distanza x immagazzina energia elastica. Qui k è la rigidezza della molla in N/m:

Metti tutto insieme in un unico bilancio energetico. W_f è il lavoro compiuto contro l’attrito, che se ne va sotto forma di calore:

Per una caduta libera da fermo, senza attrito, si ottiene m·g·h = ½·m·v², quindi v = √(2gh). La massa si semplifica.

4Il metodo passo dopo passo

1. Disegna la situazione. Segna il punto iniziale 1 e il punto finale 2, e scegli il livello zero per l’altezza.
2. Scrivi l’energia nel punto 1: E_k1 = ½·m·v₁², E_p1 = m·g·h₁, e ½·k·x₁² se una molla è compressa.
3. Scrivi l’energia nel punto 2 allo stesso modo. Lascia l’incognita come simbolo.
4. Trova il lavoro contro l’attrito. Su un piano inclinato la forza normale è N = m·g·cos θ, quindi W_f = μ·m·g·cos θ·d, con d la distanza percorsa scivolando.
5. Sostituisci i valori nel bilancio energetico e risolvi per l’incognita.

Disegna anche le forze, pure quando usi solo l’energia. Il disegno mostra quali forze compiono lavoro e quali no.

La forza normale N è perpendicolare al moto, quindi non compie lavoro. Conta solo perché l’attrito dipende da essa.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

6Errori comuni

• Usare il peso m·g come forza normale su un piano inclinato. Su un piano inclinato N = m·g·cos θ.
• Usare la distanza lungo il piano come altezza. La diminuzione di altezza è d·sin θ.
• Dimenticare la radice quadrata alla fine: ½·m·v² dà v², non v.
• Aggiungere il lavoro dell’attrito all’energia finale con il segno sbagliato. L’attrito sottrae sempre energia al moto.
• Scrivere l’energia di una molla come k·x invece di ½·k·x², oppure lasciare x in cm.

7Come sono fatte le domande d’esame

• Facile: caduta libera e altre singole conversioni. Una palla lasciata cadere (trova v o E_k), un pendolo rilasciato da un certo angolo, un blocco che urta una molla, il lavoro di una corda che tira, o la potenza di un argano (P = m·g·h / t).
• Medio: un blocco su un piano inclinato con attrito: trova la velocità dopo una certa distanza o il lavoro contro l’attrito. Le varianti includono un’auto che frena slittando fino a fermarsi, un lanciatore a molla e la potenza necessaria per salire una collina.
• Difficile: più fasi in un’unica domanda. Per esempio una rampa liscia, poi un tratto ruvido, poi una molla: trova la velocità alla molla o la compressione massima. Altre combinano un blocco tirato, un giro della morte o due blocchi collegati.

Nelle domande difficili, scrivi un unico bilancio energetico dall’inizio assoluto alla fine assoluta. Aggiungi il lavoro d’attrito di ogni tratto ruvido.

Per la compressione massima della molla, il blocco si ferma per un istante, quindi tutta la sua energia cinetica è nella molla: ½·m·v² = ½·k·x².