Torsione degli alberi: esercizi con soluzioni passo passo
Detto anche: tensione tangenziale · angolo di torsione
Esercizi gratuiti su Torsione degli alberi con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: tensione tangenziale, angolo di torsione, trasmissione di potenza.
Esercizio gratuitoFacile
Un albero circolare pieno porta un momento torcente T. Trova la tensione tangenziale massima τmax nell’albero.
Un albero è un’asta rotante che trasmette uno sforzo di rotazione: l’albero di trasmissione di un’auto, il mandrino di un trapano, l’asse di una pompa.
Lo sforzo di rotazione è la coppia T. È una forza per il braccio su cui agisce, in N·m. Spingere con 200 N all’estremità di una chiave di 0,5 m dà T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Un albero caricato da una coppia è in torsione. Si torce un poco, e il suo materiale sopporta una tensione tangenziale τ (tau): le sezioni vicine dell’albero cercano di scorrere l’una sull’altra.
In fase di progetto contano due domande: la tensione tangenziale è abbastanza bassa (resistenza) e la torsione è abbastanza piccola (rigidezza)?
Autoverifica Spingi con 200 N all’estremità di una chiave di 0,5 m, ad angolo retto. Quale coppia applichi?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Risposta: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Dividere per 0,5 dà 400; dimenticare il braccio dà 200.
2Tensione tangenziale e momento polare
Il centro dell’albero si deforma appena. Più un punto è lontano dal centro, più è sollecitato a taglio. Quindi la tensione tangenziale cresce linearmente con il raggio, da zero al centro al massimo sulla superficie.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Qui ρ (rho) è la distanza dal centro, r = d/2 è il raggio esterno e J è il momento d’inerzia polare. J misura quanto bene la sezione resiste alla torsione:
Per un albero pieno di diametro d, e per un albero cavo con diametro esterno do e diametro interno di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Per un albero pieno le due formule si combinano in una più breve:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Lavora in N·mm e mm, così la tensione risulta in N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.
Autoverifica In un albero pieno τmax = 60 MPa. Quanto vale la tensione tangenziale a metà strada tra il centro e la superficie?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Risposta: 30 MPa. La tensione cresce linearmente con ρ, quindi a ρ = r/2 è la metà di τmax: 30 MPa. Non è uguale ovunque, ed è zero solo al centro.
3Angolo di torsione e potenza
L’estremità libera dell’albero ruota dell’angolo di torsione φ (phi). Un albero più lungo o più sottile si torce di più; un materiale più rigido si torce meno:
φ = T · L / (G · J)
G è il modulo di elasticità tangenziale del materiale: circa 80 GPa per l’acciaio e 26 GPa per l’alluminio. La formula dà φ in radianti. Moltiplica per 180/π per i gradi.
Gli alberi spesso trasmettono la potenza di un motore. La potenza è la coppia per la velocità angolare, dove la velocità in rpm va prima trasformata in rad/s:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Quindi una domanda che dà kW e rpm parte da T = P/ω, con P in watt.
Autoverifica Un albero ruota a ω = 100 rad/s e trasmette 5 kW. Quale coppia porta?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Risposta: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 deriva dall’uso di 5 al posto di 5000 W; 20 divide ω per P.
4Il metodo passo dopo passo
Se sono date potenza e velocità, trova prima la coppia: ω = 2πN/60, poi T = P/ω.
Converti in N e mm: T in N·mm (N·m × 1000), L in mm, G in MPa (GPa × 1000).
Trova J: π·d⁴/32 per un albero pieno, π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo.
Tensione tangenziale: τmax = T·r/J con r il raggio esterno.
Torsione: φ = TL/(GJ) in radianti, poi × 180/π se sono richiesti i gradi.
Per una domanda di progetto (trova d), scrivi τmax = 16T/(πd³) uguale alla tensione ammissibile e ricava d.
5Un esempio svolto
Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.
Esempio svolto
Un albero pieno in acciaio (G = 80 GPa) di diametro 40 mm e lunghezza 1 m è fissato a un’estremità. Una coppia di 500 N·m agisce all’estremità libera. Trova τmax e l’angolo di torsione φ in gradi.
1
Guarda l’albero e converti le unità
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Momento d’inerzia polare
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Tensione tangenziale massima
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
La formula breve dà lo stesso: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Poco meno di un grado e mezzo su un metro di albero in acciaio è un valore ragionevole.
Risposta
τmax = 39,8 MPa e φ = 1,42°.
6Errori comuni
Usare il diametro invece del raggio in τ = T·r/J. Questo raddoppia la tensione.
Dimenticare di convertire N·m in N·mm, il che rende la tensione 1000 volte troppo piccola.
Usare direttamente gli rpm in P = T·ω. Converti prima in rad/s con ω = 2πN/60.
Dare φ in radianti quando sono richiesti i gradi, o viceversa.
Per un albero cavo: sottrarre i diametri prima di elevare alla quarta. Usa do⁴ − di⁴.
Autoverifica Un albero cavo con diametro esterno 40 mm ha J = 200 000 mm⁴. Porta T = 1000 N·m. Quanto vale τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Risposta: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Usando r = 40 mm (il diametro) si ottengono 200 MPa; lasciando T in N·m si ottengono 0,1 MPa; dimenticando r si ottiene 5.
7Come sono fatte le domande d’esame
Facile: tensione tangenziale. Un albero pieno di diametro d porta T; trova τmax. Le varianti chiedono la tensione a un dato raggio o la coppia ammissibile.
Medio: angolo di torsione. Ricevi anche L e G; trova φ in gradi. Le varianti usano un albero cavo o a gradini.
Difficile: trasmissione di potenza. Sono date la potenza in kW e la velocità in rpm; trova la coppia, poi τmax in un albero cavo o il diametro minimo per una tensione ammissibile.
Scrivi la coppia in N·mm accanto al problema prima di ogni altra cosa. È il numero che usano tutti i passi successivi.
Un albero pieno di diametro 40 mm è sollecitato da un momento torcente di 750 N·m. Trova la tensione tangenziale τρ a un raggio di 15 mm dal centro.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Calcola τρ(MPa)
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In un albero circolare la tensione tangenziale è proporzionale alla distanza dal centro: τ = T·ρ/J.
Usa N e mm ovunque: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.
Momento d’inerzia polare
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Tensione tangenziale in ρ
Per confronto, in superficie τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Risposta
τρ = 44,76 MPa
Esempio 2Media
Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Calcola φ(°)
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Usa φ = TL/(GJ), che dà radianti.
Usa N e mm ovunque: T in N·mm, L in mm, G in MPa (GPa × 1000), J in mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.
Momento d’inerzia polare
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Angolo di torsione
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Risposta
φ = 6,576°
Esempio 3Difficile
Un albero pieno deve trasmettere 15 kW a 1000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 75 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Calcola d(mm)
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Momento dalla potenza: T = P/ω con ω = 2πN/60 in rad/s.
Poni τmax = 16T/(πd³) uguale alla tensione ammissibile e risolvi per d.
T = 143,2 N·m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo
Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.
Momento torcente
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Diametro dalla tensione ammissibile
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Risposta
d = 21,35 mm
In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.
Domande e risposte
Torsione degli alberi: di cosa si tratta?
Un albero è un’asta rotante che trasmette uno sforzo di rotazione: l’albero di trasmissione di un’auto, il mandrino di un trapano, l’asse di una pompa.
Lo sforzo di rotazione è la coppia T. È una forza per il braccio su cui agisce, in N·m. Spingere con 200 N all’estremità di una chiave di 0,5 m dà T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Torsione degli alberi: come si risolvono gli esercizi passo per passo?
Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Torsione degli alberi: quali sono gli errori più comuni?
Usare il diametro invece del raggio in τ = T·r/J.
Dimenticare di convertire gli rpm in rad/s.
Dare l’angolo di torsione in radianti quando sono richiesti i gradi.
Torsione degli alberi: che cosa si esercita?
Facile: tensione tangenziale
Media: angolo di torsione
Difficile: trasmissione di potenza
Ogni esercizio ha valori nuovi, così impari il metodo invece di una risposta. Bloccato? Apri prima un piccolo suggerimento e la spiegazione completa solo quando ti serve.
Come funziona l’esercitazione
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