Pompe e potenza delle pompe: esercizi con soluzioni passo passo

Esercizi gratuiti su Pompe e potenza delle pompe con schemi, suggerimenti e soluzioni svolte complete. Valori nuovi ogni volta, su tre livelli: potenza idraulica, rendimento della pompa, prevalenza dell’impianto e potenza.

Esercizio gratuitoFacile
PQ = 15 L/sH = ?

Una pompa eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) e le cede una potenza idraulica di 11 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H fornita dalla pompa.

Ph = 11 kWQ = 15 L/sρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
m
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Su cosa ti eserciti

  1. Facilepotenza idraulica
  2. Mediarendimento della pompa
  3. Difficileprevalenza dell’impianto e potenza

Formule chiave

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Impara Pompe e potenza delle pompe da zero

Prima di questo: Attrito nei condotti e perdite di carico

1Che cosa fa una pompa

Una pompa dà energia a un liquido. Può sollevare l’acqua in un serbatoio più alto, spingerla in un tubo lungo contro l’attrito, oppure aumentarne la pressione.

Gli ingegneri descrivono quell’energia come un’altezza, la prevalenza della pompa H in metri. Una prevalenza di 40 m significa che ogni chilogrammo d’acqua riceve tanta energia quanta ne serve per sollevarlo di 40 m.

Una prevalenza può anche essere un aumento di pressione. I due sono legati dal peso del liquido:

Δp = ρ · g · H

Per l’acqua (ρ = 1000 kg/m³) ogni metro di prevalenza vale 9,81 kPa. Quindi una pompa che aggiunge 98,1 kPa aggiunge una prevalenza di 10 m.

Autoverifica Una pompa aumenta la pressione dell’acqua di 196,2 kPa. Quale prevalenza aggiunge? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 0,2 m
  2. 196,2 m
  3. 2 m
  4. 20 m

Risposta: 20 m. H = Δp/(ρ·g) = 196 200/(1000 · 9,81) = 20 m. La pressione deve essere in Pa, non in kPa, prima di dividere.

2Potenza idraulica e rendimento

La potenza che l’acqua riceve davvero è la potenza idraulica (a volte chiamata potenza dell’acqua). È il peso d’acqua spostato al secondo per la prevalenza:

Ph = ρ · g · Q · H = Q · Δp

Con ρ in kg/m³, g in m/s², Q in m³/s e H in m, la potenza risulta in watt. Ricorda: 1 L/s = 0,001 m³/s.

Una pompa non è perfetta. L’attrito e le perdite al suo interno sprecano parte della potenza sull’albero. Il rendimento della pompa è la quota che arriva all’acqua. Anche il motore elettrico ha il suo rendimento:

MPPel​Pshaft​Ph​ηmotor​ηpump​
Pshaft = Ph / ηpump Pel = Pshaft / ηmotor

Ogni passaggio perde un po’ di potenza, quindi risalendo verso l’alimentazione si divide sempre per il rendimento. L’ingresso è sempre maggiore dell’uscita.

Autoverifica L’acqua riceve 8 kW di potenza idraulica da una pompa con un rendimento dell’80%. Quale potenza all’albero serve alla pompa?
  1. 1,6 kW
  2. 10 kW
  3. 6,4 kW
  4. 8 kW

Risposta: 10 kW. Pshaft = Ph/η = 8/0,8 = 10 kW. Moltiplicare per il rendimento (6,4 kW) renderebbe l’ingresso minore dell’uscita, il che è impossibile.

3La prevalenza che serve a un impianto

Quando una pompa sposta acqua da un serbatoio a un altro, deve fornire tre cose:

ΔzP
  • Il dislivello statico Δz: l’altezza tra le due superfici dell’acqua.
  • Le perdite hL nel tubo: attrito più raccordi, hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  • Un’altezza piezometrica Δp/(ρ·g) se il serbatoio superiore è chiuso e in pressione.
H = Δz + Δp / (ρ · g) + hL

Con serbatoi aperti su entrambi i lati il termine di pressione è zero. Allora la pompa deve solo sollevare l’acqua e vincere le perdite.

Autoverifica Una pompa solleva acqua di 15 m in un serbatoio chiuso dove l’aria è a 50 kPa relativi. Le perdite nel tubo sono 3 m. Quale prevalenza deve aggiungere la pompa?
  1. 18 m
  2. 20,1 m
  3. 23,1 m
  4. 68 m

Risposta: 23,1 m. H = 15 + 50 000/(1000 · 9,81) + 3 = 15 + 5,1 + 3 = 23,1 m. Dimenticare la pressione del serbatoio dà 18 m, e sommare 50 come se fossero metri dà 68 m.

4Il metodo passo dopo passo

  1. Converti la portata in m³/s (L/s ÷ 1000) e qualsiasi pressione in Pa.
  2. Trova la prevalenza H. Se non è data, somma il dislivello statico, l’altezza piezometrica e le perdite nel tubo.
  3. Potenza idraulica: Ph = ρ·g·Q·H, in W. Dividi per 1000 per i kW.
  4. Potenza all’albero: dividi per il rendimento della pompa. Potenza elettrica: dividi di nuovo per il rendimento del motore.
  5. Per trovare un rendimento da una prova, dividi l’uscita per l’ingresso: η = Ph / Pshaft.

5Un esempio svolto

Segui ogni passaggio. Prova a prevedere il successivo prima di aprirlo.

Esempio svolto

Una pompa con un rendimento dell’80% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) contro una prevalenza totale di 40 m. È azionata da un motore elettrico con un rendimento del 95%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero e la potenza elettrica.

1

Converti la portata

Q = 20 L/s = 0,020 m³/s

La prevalenza è data direttamente: H = 40 m.

2

Potenza idraulica

Ph = 1000 · 9,81 · 0,020 · 40 = 7848 W = 7,85 kW

Questa è la potenza che finisce nell’acqua.

3

Potenza all’albero

Solo l’80% della potenza all’albero arriva all’acqua, quindi l’albero deve fornirne di più:

Pshaft = 7,848 / 0,80 = 9,81 kW
4

Potenza elettrica

Pel = 9,81 / 0,95 = 10,33 kW
5

Controlla il risultato

Il rendimento complessivo è 0,80 · 0,95 = 0,76, e 7,848 / 0,76 = 10,33 kW. Stesso risultato.

Le potenze crescono verso l’alimentazione: 7,85 → 9,81 → 10,33 kW. È l’ordine giusto.

Risposta

Pshaft ≈ 9,81 kW e Pel ≈ 10,3 kW.

6Errori comuni

  • Usare la portata in L/s come se fosse in m³/s. Questo rende la potenza 1000 volte troppo grande.
  • Moltiplicare per il rendimento invece di dividere quando si risale dall’acqua all’albero.
  • Mescolare W e kW nella risposta finale.
  • Dimenticare le perdite nel tubo o la pressione del serbatoio quando si costruisce la prevalenza dell’impianto.
  • Scrivere il rendimento come 80 invece di 0,80.
Autoverifica Una pompa eroga 5 L/s di acqua contro una prevalenza di 20 m. Qual è la potenza idraulica? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 0,1 kW
  2. 0,981 kW
  3. 98,1 kW
  4. 981 kW

Risposta: 0,981 kW. Ph = 1000 · 9,81 · 0,005 · 20 = 981 W = 0,981 kW. Usare Q = 5 invece di 0,005 dà 981 kW, e dimenticare g dà 0,1 kW.

7Come sono fatte le domande d’esame

  • Facile: potenza idraulica. Da Q e H trova Ph, oppure da Ph e Q trova la prevalenza. Alcune domande danno un aumento di pressione invece di una prevalenza: allora Ph = Q·Δp.
  • Medio: rendimento della pompa. Trova la potenza all’albero dal rendimento, il rendimento da una prova, oppure la potenza elettrica quando è dato anche il rendimento del motore.
  • Difficile: prevalenza dell’impianto e potenza. Una pompa sposta acqua tra due serbatoi attraverso un tubo con attrito e raccordi. Trova le perdite nel tubo, la prevalenza della pompa e poi la potenza all’albero.

Nelle domande difficili, trova prima V = Q/A, poi hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), poi H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL, e solo dopo la potenza.

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Esempi svolti

Esempio 1Facile
PQ = 60 L/sH = ?

Una pompa eroga 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) e le cede una potenza idraulica di 15 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H fornita dalla pompa.

Ph = 15 kWQ = 60 L/sρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Calcola H (m)

Mostra i suggerimenti
  1. Potenza idraulica P = ρ·g·Q·H, quindi H = P/(ρ·g·Q).
  2. Usa watt e m³/s.
  3. ρ·g·Q = 1000·9,81·0,06 = 588,6 W/m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Prevalenza

H = P/(ρ·g·Q) = 15000/(1000·9,81·0,06) = 25,48 m

Risposta

H = 25,48 m
Esempio 2Media
PQ = 80 L/sH = 64 m

Una pompa con rendimento del 60% eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 64 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.

Q = 80 L/sH = 64 mη = 60%g = 9,81 m/s²

Calcola Pshaft (kW)

Mostra i suggerimenti
  1. Trova prima la potenza idraulica ρ·g·Q·H.
  2. Poi Pshaft = Ph/η.
  3. Ph = 50,23 kW.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·64 = 50,23 kW

Potenza all’albero

Pshaft = Ph/η = 50,23/0,6 = 83,71 kW

Risposta

Pshaft = 83,71 kW
Esempio 3Difficile
PQ = 60 L/sΔz = 5 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0,025, ΣK = 5

Una pompa trasferisce 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 60 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 5

Calcola H (m)

Mostra i suggerimenti
  1. Equazione dell’energia dal pelo libero inferiore a quello superiore: H = Δz + hL.
  2. hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  3. V = 1,91 m/s, V²/(2g) = 0,1859 m.
Mostra la risposta e la soluzione passo passo

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 5)·0,1859 = 5,577 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + hL = 5 + 5,577 = 10,58 m

Risposta

H = 10,58 m

Domande e risposte

Pompe e potenza delle pompe: di cosa si tratta?

Una pompa dà energia a un liquido. Può sollevare l’acqua in un serbatoio più alto, spingerla in un tubo lungo contro l’attrito, oppure aumentarne la pressione.

Gli ingegneri descrivono quell’energia come un’altezza, la prevalenza della pompa H in metri. Una prevalenza di 40 m significa che ogni chilogrammo d’acqua riceve tanta energia quanta ne serve per sollevarlo di 40 m.

Pompe e potenza delle pompe: come si risolvono gli esercizi passo per passo?

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Pompe e potenza delle pompe: quali sono gli errori più comuni?
  • Dividi anche per g: P = ρ·g·Q·H.
  • Converti i kW in W e i L/s in m³/s, poi H = P/(ρ·g·Q).
  • L’albero deve fornire più di quanto riceve l’acqua: dividi per il rendimento, non moltiplicare.
Pompe e potenza delle pompe: che cosa si esercita?
  • Facile: potenza idraulica
  • Media: rendimento della pompa
  • Difficile: prevalenza dell’impianto e potenza

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